第二部分 数学规律题的几个解决策略-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（华东师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 数学规律题的几个解决策略 一、 要善于抓主要矛盾 有些题目看上去很大、很复杂,实际上, 关键性的内容并不多.对题目做一番认真的 分析,去粗取精,去伪存真,把其中主要的、关 键的内容抽出来,题目的难度就会大幅度降 低,问题也就容易解决了.例如,观察如图的 数表:求左上角至右下角对角线上第n 个数 是多少? 这一题,看上去内容比较多,实际很 简单.题目条件里的数构成一个正方形,我们 把对角线上的数抽出来,就是1,3,5,7…… 这是奇数从小到大的排列.于是,问题便转化 成求第n 个奇数的表达式,即2n-1. 二、 要抓题目里的变量 找数学规律的题目,都会涉及一个或者 几个变化的量.所谓找规律,多数情况下,是指 变量的变化规律.所以,抓住了变量,就等于抓 住了解决问题的关键.例如,用围棋子按如图 的规律摆图形,则摆第n 个图形需要围棋子 的枚数是 .观察图形,第1个图形中围 棋子的枚数为5=3×1+2;第2个图形中围 棋子的枚数为8=3×2+2;第3个图形中围 棋子的枚数为11=3×3+2……因此可知,第 n个图形中围棋子的枚数为3n+2.解决这类 问题,首先从简单的图形入手,随着“序号”增 加,后一个图形与前一个图形相比,在数量上 增加情况的变化,找出数量上的变化规律,从 而推出一般性结论. 三、 要善于比较 “有比较才有鉴别”,通过比较,可以发现 事物的相同点和不同点,更容易找到事物的 变化规律.找规律的题目,通常按照一定的顺 序给出一系列量,要求我们根据这些已知的 量找出一般规律.揭示的规律,常常包含着事 物的序列号.所以,把变量和序列号放在一起 加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例 如,观察下列各数:0,3,8,15,24……按此规 律写出的第100个数是 .解答这一 题,可以先找一般规律,然后使用这个规律, 计算出第100个数.我们把有关的量放在一 起加以比较(见表格),容易发现,已知数的每 一项,都等于它的序列号的平方减1.因此, 第n 项是n2-1,第100项是1002-1. 给出的数 0 3 8 15 24 … 序列号 1 2 3 4 5 … 如果题目比较复杂,或者包含的变量比 较多,解题的时候,不但要考虑已知数的序列 号,还要考虑其他因素.譬如,已知下列等式: ①13=12;②13+23=32;③13+23+33=62; 43 第 二 部 分 专 题 选 讲 ④13+23+33+43=102……由此规律知,第 5个等式是 .这个题目,在给出 的等式中,左边的加数个数在变化,加数的底 数在变化,右边的和也在变化.所以,需要进 行比较的因素也比较多.就左边而言,按序号 依次进行比较,发现加数个数依次增加一个. 所以,第5个等式应该有5个加数;从左向右 比较加数的底数,发现它们呈自然数排列.所 以,第5个等式的左边是13+23+33+43+ 53.再来看等式的右边,指数没有变化,变化 的是底数.等式的左边也是指数没有变化,变 化的是底数.比较等式两边的底数,发现和的 底数与加数的底数和相等.所以,第5个等式 右边的底数是(1+2+3+4+5),和为152, 即13+23+33+43+53=152. 四、 要善于寻找事物的循环节 有些题目包含着事物的循环规律,找到 了事物的循环规律,其他问题就可以迎刃而 解. 比如,观察下列球的排列规律(其中●是 实 心 球,○ 是 空 心 球):● ○○ ● ● ○○○○○●○○●●○○○○○●○○● ●○○○○○ ● …… 从 第 1 个 球 起 到 第 2013个球止,共有实心球 个. 这些 球,从左到右,按照固定的顺序排列,每隔10 个 球 循 环 一 次,循 环 节 是 ● ○○ ● ● ○○○○○. 每个循环节里有3个实心球. 我们只要知道2013包含有多少个循环节,就 容易计算出实心球的个数. 因为2013÷10= 201……3,所以,2013个球里有201个循环 节,还余3个球.201个循环节里有201×3= 603个实心球,剩下的3个球里有1个实心 球. 所以,一共有604个实心球. 1. (贵州安顺中考题)如图所示是一组 有规律的图案,第1个图案是由4个基础图 形组成,第2个图案是由7个基础图形组 成……第n(n 是正整数)个图案中的基础图 形的个数为 (用含n 的式子表示). 2. (湖南湘潭中考题)如图,按此规律, 第6行最后一个数字是 ,第 行最后一个数是2014. 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …… 3. (山东济宁