专题04 数列求和综合应用（三大基础题型+两大重难点题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题04 数列求和综合应用 1、 基础题型 1、 分组（并项）法求和 2、 错位相减法求和 3、 裂项相消法求和 2、 重难点题型 1、 数列求和与不等式恒成立和证明 2、 数列求和的综合应用 分组（并项）法求和 1．（2023上·天津红桥·高二统考期末）若数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且. (1)若成等比数列，求的值； (2)当时，求数列的前21项和. 2．（2023上·天津河西·高二天津实验中学校考期末）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项. (1)求和的通项公式； (2)已知，数列满足，求数列的前项和. 3．（2023上·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）已如数列的前项和为，，当时，． (1)证明数列为等差数列，并求； (2)求数列的前项和为． 错位相减法求和 4．（2023上·天津·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和. 5．（2023上·天津西青·高二统考期末）在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记 ，求数列的前项和． 6．（江西省萍乡市2021届高三上期数学期中复习试卷（理科）试题）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和为. 裂项相加法求和 8．（2023上·天津北辰·高二校考期末）已知等差数列的前n项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和，求证：． 9．（2023上·天津南开·高二南开中学校考期末）已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn. (1)求的通项公式； (2)已知， （i）求数列前n项和Tn； （ii）证明：当时，. 10．（2023上·天津津南·高二校考期末）已知数列的前项和是公比大于0的等比数列，且满足. (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)对任意的正整数，设数列满足，求数列的前项和 数列求和与不等式恒成立和证明 11．（2023上·天津和平·高二天津一中校考期末）已知数列中，，，，数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)在（2）的条件下，设，求证：. 12．（2023上·天津河西·高二统考期末）已知数列{an}的前n项和为Sn， 且满足a1 = 2， nan + 1 = Sn + n（n + 1）. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）设Tn为数列}的前n项和， 求Tn； （Ⅲ）设， 证明： 13．（2023上·天津·高二校联考期末）已知为数列的前n项和，且，数列前n项和为，且，． (1)求和的通项公式； (2)设，设数列的前n项和为，求； (3)若数列满足：，证明： 数列求和的综合应用 14．（2023上·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，. (1)求和的通项公式； (2)设，设数列的前项和为，求； (3)证明：. 15．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，，证明：. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列求和综合应用 1、 基础题型 1、 分组（并项）法求和 2、 错位相减法求和 3、 裂项相消法求和 2、 重难点题型 1、 数列求和与不等式恒成立和证明 2、 数列求和的综合应用 分组（并项）法求和 1．若数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且. (1)若成等比数列，求的值； (2)当时，求数列的前21项和. 【详解】（1）根据题意可得，又，故可得， 又成等比数列，故，即，解得（舍）或，故. （2）当时，，则， 两式作差可得：，故该数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，则， 故 . 故数列的前21项和. 2．已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项. (1)求和的通项公式； (2)已知，数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）解：或， 又，则，∴（）． 设等差数列的公差为，由题意得，，， 即，所以（）． （2）解：时，， ∴ ． 时， ∴ ，① ，② 由①②可得， ∴ ∴（）． 3．已如数列的前项和为，，当时，． (1)证明数列为等差数列，并求； (2)求数列的前项和为． 【详解】（1）