第二部分 专题四 数学思想应用在线段与角中-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（沪科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题四 数学思想应用在线段与角中 数学思想是解决数学问题的灵魂,它在 学习和运用数学知识的过程中起到指导作 用.掌握数学思想可提高我们驾驭知识、解决 具体问题的能力.下面就与线段、角有关的数 学思想例析如下: 1. 分类思想 所谓分类思想,就是当被解决的问题包 含两种或两种以上的可能情况时,按不同的 情况分类,根据不同情况来分类解决问题的 一种思想方法. 例1 已知点O 在直线AB 上,且线段 OA 的长度为4cm,线段OB 的长度为6cm, E,F 分别是线段OA,OB 的中点,则线段 EF 的长为 cm. 分析 要求线段EF 的长,比较直观的 方法就是画出图形,借助图形解决问题.由于 点O 在直线AB 上,可能存在两种情况:一 是点O 在线段AB 上(图1);二是点O 在线 段AB 外(图2).当点 O 在线段AB 上时, EF=5cm,当 点 O 在 线 段 AB 外 时,EF =1cm. 解 1或5 点评 在解决线段有关的问题中,有时 需要分类讨论可能出现的多种情况.解题时 要注意全面思考问题. 2. 整体思想 整体思想就是从整体的角度思考问题, 即将局部放在整体中去观察分析探究问题的 一种思想.这种思想可以将问题化难为易,化 繁为简. 例2 如图,OC,OE 分别是∠AOD, ∠BOD 的 平 分 线,如 果∠AOB=130°,求 ∠COE 的度数. 分析 观察图形可知∠COE=∠COD +∠DOE,而∠COD,∠DOE 的大小不定, 所以只能设法求出∠COD+∠DOE.根据已 知OC,OE 分别是∠AOD,∠BOD 的平分 线,则 有 ∠COD = 1 2∠AOD ,∠DOE = 1 2∠BOD ,这 样 ∠COD + ∠DOE = 1 2 (∠AOD + ∠BOD ),借 助 ∠AOD + ∠BOD = ∠AOB,由 整 体 代 换 可 得 到 ∠COD + ∠DOE = 1 2∠AOB =65°. 即 ∠COE=65°. 解 ∠COE = ∠COD + ∠DOE = 1 2 (∠AOD+∠BOD)= 1 2∠AOB= 1 2× 130°=65°. 点评 本题通过整体代换的方法求得 ∠COE 的度数.整体代换是一种重要的解题 策略,在求角度问题中应用广泛. 54 第 二 部 分 专 题 选 讲 3. 转化思想 转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的 问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解 决问题的一种思想方法. 例 3 如 图,∠AOB =90°,ON 是 ∠AOC 的平分线,OM 是∠BOC 的平分线, 求∠MON 的度数. 分析 观察图形知,∠MON=∠NOC -∠MOC,但∠NOC,∠MOC 的 度 数 并 不 知道,为此,需要根据ON 是∠AOC 的平分 线,OM 是∠BOC 的平分线这两个已知条件 进行转化,找到∠MON 与已知∠AOB 之间 的关系. 解 ∵∠NOC= 1 2∠AOC ,∠MOC= 1 2∠BOC ,∴∠MON=∠NOC-∠MOC= 1 2∠AOC - 1 2 ∠BOC = 1 2 (∠AOC - ∠BOC)= 1 2∠AOB= 1 2×90°=45°. 点评 本题通过角之间的关系,将未知 的问题转化为已知的问题,是转化思想的重 要体现.当然,在转化的过程中也体现了整体 思想的应用. 1. 已知A,B,C 三点在同一条直线上, M,N 分别为线段AB,BC 的中点,且AB= 60,BC=40,则 MN 的长为 . 2. 如图,∠AOE=160°,∠AOB∶∠BOC 64 第 二 部 分 专 题 选 讲 =1∶3,∠COD∶∠DOE=3∶1,∠AOB+ ∠DOE= . 3. 如图所示,已知OE 是∠AOC 的平 分线,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若 ∠AOC=120°,∠BOC=β,则 ∠DOE= ; (2)若∠AOC=α,∠BOC=β(α>β),则 ∠BOE= . 生活标志的几何图案 1. 可回收标志 这个形成特殊三角形的三箭头标志,就 是这几年在全世界十分流行的循环再生标 志,有人把它简称为回收标志.它被印在各种 各样的商品和商品的包装上,在可乐、雪碧的 易拉罐上你就能找到它.这个特殊的三角形 标志有两方面的含义: 第一,它提醒人们,在使用完印有这种标 志的商品包装后,请把它送去回收,而不要把 它当成垃圾扔掉. 第二,它标志着商品或商品的包装是用 可再生的材料制成的,因此是有益于环境和 保护地球的. 在许多发达国家,人们在购买商品时总 爱找一找,看商品上是否印有这小小的三箭 头循环再生标志.许