第二部分 专题三 列方程(组)解应用题的设元技巧-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（沪科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题三 列方程(组)解应用题的设元技巧 设元是列方程或方程组解应用题的重要 环节.只有设得巧,才能解得妙.那么应怎样 设元呢? 这里结合实例介绍四种方法. 1. 直接设元 这是一种求什么就设什么的设元方法. 例1 A,B 两地相距360km,甲车从A 地开往B 地,每小时行驶72km;甲车出发25 min后,乙车从B 地开往A 地,每小时行驶 48km.两车相遇后各自仍按原速度原方向继 续行驶,则甲车从出发到相遇后两车相距 100km时共行驶了多少小时? 解 设甲车从出发到相遇后两车相距 100km时共行驶了xh,乙车共行驶了yh. 可列方程组 x-y= 25 60 , 72x+48y=360+100, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 x=4, y= 43 12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 答:甲车从出发到相遇后相距100km时 共行驶了4h. 2. 直接设元并辅以参数 有些应用题,直接设元列方程组比较困 难,或列出来的方程组比较复杂,此时可考虑 适当引入参数. 例2 从甲、乙两车站同时相向各发出 一辆车,再隔相同时间又同时各发出一辆车, 依次不断发车,且所有车速度都相同.两站间 有一骑自行车者,他发现每20min后面就有 一辆从乙站发来的汽车追上他,每5min就 有一辆甲站发出的车迎面遇上他.甲、乙两车 站每隔多少分钟发一次车? 解 设甲、乙两车站每隔x min发一次 车,汽车的速度为v1m/min,骑自行车者的 速度为v2m/min. 依题意得 5v1+5v2=v1x ① 20v1-20v2=v1x ② 由①②消去x,得v2= 3 5v1 ,将它代入 ①,解得x=8. 答:甲、乙两车站每隔8min发一次车. 3. 间接设元并辅以参数 与直接设元类似,有些应用题在间接设 元后,也要引入适当的参数才比较容易列出 方程组. 例3 甲、乙两人分别从A,B 两地同时 同向出发,36min后甲追上乙;若同时出发 9min后,乙停止前进等候甲,则甲再有10min 就可追上乙.甲走完两地间的路程需几分钟? 解 设甲的速度为xm/min,乙的速度 为ym/min,A,B 两地间的路程为sm. 根据题意可列方程组 36x-36y=s ① 19x-9y=s ② 由①②消去s,得y= 17 27x. 将它代入②,得 40 3x=s. 故s x= 40 3. 答:甲走完两地间的路程需40 3 min. 1. 甲、乙两种糖果,售价分别为20元/千 34 第 二 部 分 专 题 选 讲 克和24元/千克,根据市场调查发现,将两种 糖果按一定的比例混合后销售,取得了较好 的销售效果.现在糖果的售价有了调整:甲种 糖果的售价上涨了8%,乙种糖果的售价下 跌了10%.若这种混合糖果的售价恰好保持 不变,则 甲、乙 两 种 糖 果 的 混 合 比 例 应 为 甲∶乙= . 2. “五一”期间,某服装商店举行促销活 动,全部商品八折销售.小华购买一件标价为 180元的运动服,打折后他比按标价购买节 省了 元. 3. 某书城开展学生优惠购书活动,凡一 次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过 200元的,其中200元按九折算,超过200元 的部分按八折算.某学生第一次去购书付款 72元,第二次又去购书享受了八折优惠,他查 看了所买书的定价,发现两次共节省了34元, 则该学生第二次购书实际付款 元. 4. 某宾馆有单人间和双人间两种房间, 入住3个单人间和6个双人间共需1020元, 入住1个单人间和5个双人间共需700元,则 入住单人间和双人间各5个共需 元. 足球上的玄妙 足球是许多人热爱的运动.但似乎很少 有人留意到足球面的组成.从远处看足球似 乎是一个完美的球体.但事实上,传统足球是 由黑白两色皮黏合、缝制成的多面体,其中黑 皮块为正五边形,白皮块为正六边形.一个有 趣的问题是:黑、白皮各有多少块呢? 观察一下会发现:黑皮块周围都是白块 皮,即每一黑色皮块的边皆与白色皮块相邻, 而每一白色皮块却只有3条边与黑色皮块相 接.设x 为黑色皮块的数目,而y 为白色皮 块的数目,则黑白图形相邻边的数目=5x= 3y.因 此 足 球 面 上 的 “黑 白 比 ”为: x∶y=3∶5.利用这个比值,只需知道较少 的黑皮块数量,就可推算出较多的白皮块数 量.我们数一数,就可发现黑皮有12块,由此 可计算出白皮有20块,而整个足球皮块总数 为32. 这个问题如果不数黑皮块也可得到解 决,但要借助于欧拉于1752年给出的凸多面 体的欧拉公式.这一奇妙的定理描述了简单 多面体的顶点数、面数及棱数之间的