第二部分 专题二 代数式的求值方法-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（沪科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题二 代数式的求值方法 求代数式是《整式加减》一章中的重要内 容,也是代数计算的常见题型,在求代数式的 值时,既要注意代数式中条件的特点,又要注 意所求代数式的结构特征,并在此基础上,熟 练运用有关知识和运算顺序及运算律,简捷、 巧妙地解决问题.下面介绍几种常见的方法, 供同学们参考. 1. 直接代入法 例1 若x=2,则代数式x3+x2-x+ 3的值是 . 分析 未知数的值已给出,利用直接代 入法即可求出. 解 ∵x=2,∴原式=8+4-2+3 =13. 点评 直接代入求值法就是把条件中给 出的字母的值直接代入所求的代数式中,计 算出其结果,这是代数式求值的最基本、最常 见的方法. 2. 化简代入法 例2 当x=-2时,则代数式(3x2-2) -(4x2 -2x-3)+ (2x2 -1)的 值 为 . 分析 这里如果使用上面的直接代入法 一定很麻烦,所以我们可以先化简,再代入, 这样既可以节省时间,准确率也能提高. 解 原式=3x2-2-4x2+2x+3+2x2 -1=(3x2-4x2+2x2)+2x-2+3-1=x2 +2x=(-2)2+2×(-2)=0. 点评 先把要求的代数式进行化简,然 后将所给字母的值代入化简后的代数式,计 算出结果,一般情况下,求代数式的值都按此 步骤进行. 3. 求值代入法 例3 若(x-y+1)2+|x+y+1|=0, 则代数式x2+xy+y2 的值是 . 分析 观察题目,可知可以先求出x,y 的值,再代入求解. 解 由非负数的性质可知, x-y+1=0, x+y+1=0, 解得 x=-1 , y=0. 故原式=(-1)2+(-1)×0+02=1. 点评 常见的求值条件中,除了应用非 负数的性质外,还会结合一些基本概念,如 a,b互为相反数,x,y 互为倒数,解答时可以 先根据条件求出字母的值或部分和与积的 值,再代入计算. 4. 整体代入法 例4 已知2a-b=3,则代数式(b- 2a)2-4a+2b+2000的值是 . 分析 将2a-b 当做一个整体,将所求 的代数式变形后,代入计算即可. 解 原式=(2a-b)2-2(2a-b)+ 2000=32-2×3+2000=2003. 点评 整体思想是在求代数式时,把已 知条件当做一个整体或者变形后当做一个整 体,直接代入所求的代数式,来计算求值的方 法.这种情况下单独求得各个字母的值往往 14 第 二 部 分 专 题 选 讲 无法求解. 5. 主元代入法 例5 已知x y =2,则代数式 4x-5y x+y 的 值为 . 分析 这里无法求出任何一个字母的 值,所以可以用含有一个字母的代数式表示 另一个字母,再代入求值. 解 因为 x y =2,所以x=2y,故原式= 4×2y-5y 2y+y = 3y 3y =1. 点评 若条件中含有多个字母,这时可 以选择某一个字母为主字母,用含这个字母 的代数式表示其他字母,代入求值. 6. 设置参数 例6 已知 x y = 2 3 ,则代数式x 2+xy x2-xy 的 值为 . 分析 这里选用上面的主元代入法也可 以解决此问题,但是相对麻烦些. 解 由小学学过的比的意义,可以设x =2k,y =3k,代 入 代 数 式 得:原 式 = (2k)2+2k×3k (2k)2-2k×3k = 4k2+6k2 4k2-6k2 = 10k2 -2k2 =-5. 点评 对于这种类型的求代数式值的题 目,当不能求出字母的值时,可以设置一个参 数,再代入计算,这种方法既快又准. 7. 特殊值代入法 例7 已知abc=1,则代数式 a ab+a+1 + b bc+b+1+ c ac+c+1= . 解 由已知条件,可令a=b=c=1,代 入得: 原式= 1 1+1+1+ 1 1+1+1+ 1 1+1+1=1. 点评 根据已知条件,赋予字母以特殊 值,代入代数式进行计算,体现特殊与一般的 方法. 1. 若x=-1,则代数式x3-x2+4的 值为 . 2. 当x=1时,代数式ax3+bx+1的 值为2012,则当x=-1时,代数式ax3+bx +1的值为 . 3. 若(x+2y)2+|y-1|=0,则x2+y2 = . 4. 已知:a 5= b 7= c 8 ,且3a-2b+c=9, 则2a+4b-3c= . 5. 已知2a-3b2=5,则10-2a+3b2 的 值是 . 24 理由:甲居民区的订报率为(2.0+3.5+ 6.4+8.4+2.4+5.5)×100÷11280=25%, 乙居民区的订报率为(1