第二部分 专题一 如何化简绝对值-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（沪科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 专题一 如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容, 在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值 符号的数学问题又是学生遇到的难点之一, 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意 义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝 对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的 正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三 种类型. 1. 根据题设条件 例1 当1<a<2时,代数式|a-2|+ |1-a|的值是 ( ) A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 分析 根据a 的取值范围,先去绝对值 符号,再计算求值. 解 当1<a<2时,|a-2|+|1-a|= 2-a+a-1=1. 故选B. 点评 只要知道绝对值符号内的代数式 是正是负或是零,就能根据绝对值的意义顺 利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常 规思路. 2. 借助数轴 例2 实数a,b,c 在数轴上位置如图 所示,则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+ |b-c|的值等于 ( ) A. -a B. 2a-2b C. 2c-a D. a 分析 由数轴上容易看出b<a<0<c, ∴a+b<0,c-a>0,b-c<0,这就为去掉 绝对值符号扫清了障碍. 解 原式=-a-[-(a+b)]+(c-a) +(c-b)=2c-a,故选C. 点评 这类题型是把已知条件标在数轴 上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定要 弄清: (1)零 点 的 左 边 都 是 负 数,右 边 都 是 正数. (2)右边点表示的数总大于左边点表示 的数. (3)离原点远的点的绝对值较大. 牢记这几个要点就能从容自如地解决问 题了. 3. 采用零点分段讨论法 例3 化简2|x-2|-|x+4|. 分析 本类型的题既没有条件限制,又 没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采 用零点分段讨论法,本题的难点在于x-2 和x+4的正负不能确定,由于x 是不断变 化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应 当对各种情况一一讨论. 解 令x-2=0得零点:x=2; 令x+4=0得零点:x=-4,把数轴上 的数分为三个部分(如图): 83 第 二 部 分 专 题 选 讲 ①当x≥2时,x-2≥0,x+4>0, ∴原式=2(x-2)-(x+4)=x-8. ②当-4≤x<2时,x-2<0,x+4≥0, ∴原式=-2(x-2)-(x+4)=-3x. ③当x<-4时,x-2<0,x+4<0, ∴原式=-2(x-2)+(x+4)=-x +8. ∴2|x-2|-|x+4|= x-8(x≥2), -3x(-4≤x<2), -x+8(x<-4). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 点评 虽然x-2和x+4 的正负不能 确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这 正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一 般步骤是: (1)求零点:分别令各绝对值符号内的代 数式为零,求出零点(不一定是两个). (2)分段:根据第一步求出的零点,将数 轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内 每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. (3)在各区段内分别考查问题. (4)将各区段内的情形综合起来,得到问 题的答案. 1. 已知a,b,c,d 满足a<-1<b<0< c<1<d 且|a+1|=|b+1|,|1-c|= |1-d|,那么a+b+c+d= . 2. 化简|x+5|+2|x-3|= . 3. 若|-a|>-a,则有 ( ) A. a>0 B. a<0 C. a<-1 D. -1<a<0 4. 有理数a,b,c 在数轴上的位置如图 所示,则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化 简结果为 ( ) A. 2a+3b-c B. 3b-c C. b+c D. c-b 5. 有理数a,b在数轴上的对应点如图所 示,那么下列四个式子a+b,b-a,|a-b|, |a|-|b|中负数的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 只许称一次 在一本趣味数学书中有一道题的题目叫 做“只许称一次”.原题是这样的: 一袋一袋的洗衣粉堆成10堆,9堆洗衣 粉是合格产品,每袋1斤.唯独有一堆分量不 足,每袋只有9两.从外形上看,看不出哪一 堆是9两的.用台秤一堆一堆去称吧,称的次 数比较多.有人找到一个办法,只称了一次, 就找到了9两的那一堆.这是个什么办法呢? 如果有40堆洗衣粉,其中有一堆是9两一袋 的,那么要称几次才能找出这一堆? 原书的解答是这样的: 你注意过乘法口诀的特点吗? 一个数乘 9,乘积中