数列中求通项公式an的常见方法讲义-2024届高三数学二轮专题复习

专项训练 数列中求通项公式an 的常见方法 一般的，数列的通项公式an 的求法分为公式法（含特殊数列法）和递推关系，在递推关系中又可以分为累加法、累乘和构造特殊数列(常数列、等差数列、等比数列)求其通项公式，然后进一步求该数列的通项公式． 类型一　由Sn与an的关系求an(综合性) 例1 　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________． (2)已知数列{an}满足1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________． (3)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则an＝________． [变式训练]　将本例(1)中“Sn”变为Sn＝n2＋2n(n∈N*)，则an＝________． 归案总结 1．已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 对应练习 1．已知在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________． 类型二　由数列的递推公式求an(综合性) （方法一）　累加法 例2 　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． （方法二）　累乘法 例3　已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________． 归纳总结 1．累加法：已知a1，且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可用累加法求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1. 2．累乘法：已知a1，且＝f(n)(n≥2)，可用累乘法求an，即an＝··…··a1. 对应练习 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1＋1，则an＝________． 3．在数列{an}中，已知an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________． （方法三）构造法 （形式一）形如an＋1＝c an＋d(c≠0，其中a1＝a)型 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则通项公式an＝________． 归纳总结 设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，与题设an＋1＝can＋d比较系数得λ＝(c≠1)，所以an＋＝c(an－1＋)(n≥2)，即构成以(a1＋)为首项，c为公比的等比数列． 对应练习 1．已知在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________． （形式二）形如an＋1＝(r，p，q为常数，r＞0，p，q，an≠0)型 例5　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则an＝__________. 归案总结 此类问题的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式bn＝Abn－1＋B(n≥2，A，B是常数)，进而求解． 对应训练 2．在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则通项公式 bn＝________． （形式三）形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)型 例6　已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋() n＋1，则an＝________． 归纳总结 此类问题的求解方法是等式两边同时除以pn＋1，即得－＝q，则数列为等差数列，进而求解． 对应训练 3．在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项训练 数列中求通项公式an 的常见方法 一般的，数列的通项公式an 的求法分为公式法（含特殊数列法）和递推关系，在递推关系中又可以分为累加法、累乘和构造特殊数列(常数列、等差数列、等比数列)求其通项公式，然后进一步求该数列的通项公式． 类型一　由Sn与an的关系求an(综合性) 例1 　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________． [解析]　由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝ [答案]　 (2)已知数列{an}满足1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．