第5章 一元一次方程（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案（北师大版）

第5章 一元一次方程（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点： （1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式． （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 【例1】（2023上·浙江台州·七年级校联考期中）下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023上·江苏南京·七年级统考期中）下列等式：①；②；③；④；⑤．其中，是一元一次方程的是 ．（填序号） 【变式2】（2023上·江苏·七年级姜堰区实验初中校考周测）若是方程的解，则代数式的值是 ． 二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 【例2】（2023上·江苏扬州·七年级校联考期中）如果，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考开学考试）解方程．                               三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【例3】（2023上·广东佛山·七年级校联考阶段练习）解方程：． 【变式1】（2023上·浙江台州·七年级校考期中）解方程 (1) (2) 【变式2】（2023上·江苏徐州·七年级统考期中）解方程： (1)； (2)． 四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 3.行程问题：路程＝速度×时间 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【例4】（2023上·江苏泰州·七年级统考期中）幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则 ． 【变式1】（2023上·全国·七年级专题练习）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中，显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：    (1)投入第个围棋子后，桶里的水位高度达到了 ； (2)设投入了个棋子，没有水溢出．用表示此时桶里水位的高度 ； (3)当投入 个棋子，正好可使水位达到桶的高度． 【变式2】（2023上·四川成都·七年级成都市青羊实验中学校考期中）2023年成都国际马拉松于10月29号举行，从起点金沙遗址博物馆到终点成都世纪城新国际会展中心全长公里．小明同学和小华同学相约参加此次活动．小明同学结合自己爆发力强的身体特点制定了如下的跑步计划： 跑步时间 （时间：小时） 2小时 小时 3小时 小时 4小时 …… 已跑