第一部分 第二章 有理数及其运算-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（北师大版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第二章 有理数及其运算 1. 有理数的意义: 整数和分数统称为有理数,正整数和正 分数统称为正有理数,负整数和负分数统称 为负有理数. 注:①0既不是正数也不是负数,0是整 数;自然数包括0和正整数. ②所有的同类数放在一起能组成数集, 如所有的有理数合在一起组成有理数集. 2. 有理数的有关概念: 数轴:规定原点、正方向和单位长度的 直线. 注:所有的有理数都可以用数轴上的点 表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有 理数可用原点左边的点表示,零用原点表示; 但反过来,不能说数轴上所有的点都表示有 理数. 相反数:只有符号不同的两个数,我们说 其中一个数是另一个数的相反数,也称这两 个数互为相反数.0的相反数是0. 注:在数轴上原点两旁距原点距离相等 的两个点所表示的数互为相反数,表示一个 数的相反数,只要在这个数的前面添一个 “-”号即可,即a 的相反数是-a. 绝对值:在数轴上,一个数所对应的点与 原点的距离叫做该数的绝对值.正数的绝对 值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;零 的绝对值是零. 倒数:如果a 与b是非零的有理数,并且 有a×b=1,我们就说a 与b互为倒数. 注:①对于任何有理数a,都有|a|≥0, 零是绝对值最小的有理数. 6 第 一 部 分 温 故 知 新 ②要求一个数的绝对值,应先判断这个 数是正数、负数还是0,再由绝对值的意义确 定去掉绝对值符号后的结果. 3. 有理数大小的比较: (1)正数都大于0,正数大于一切负数, 两个负数相比,绝对值大的反而小. (2)在数轴上表示的两个数,右边的数总 比左边的数大. 4. 有理数的运算: (1)有理数的运算: 运算 符号 绝对值 加 法 同号 取相同的符号 绝对值相加 异号 绝对值不等,取绝对 值较大的加数的符号 用较大绝对值, 减去较小绝对值 绝对值相等,既不是 正数,也不是负数 0 减法 变减号为加号,减数 改为相反数,用加法 乘法 同号得正,异号得负 相乘 除法 同号得正,异号得负 相除 (2)有理数的乘方:求几个相同因数的积 的运算,叫做乘方.正数的任何次幂都是正 数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是 正数. 注:①an 与-an 的区别:an 表示n 个a 相乘,底数是a,指数是n,读作:a 的n 次方; -an 表示n 个a 乘积的相反数,底数是a,指 数是n,读作:a 的n 次方的相反数. ②若n 表示正整数,则2n 表示偶数, (2n+1)表示奇数.(-1)2n=1,(-1)2n+1= -1. (3)有理数混合运算:先算乘方,再算乘 除,最后算加减;如果有括号,就先算括号里 面的. (4)运算律: 加法交换律:a+b=b+a;加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); 乘法交换律:ab=ba;乘法结合律:(ab)c =a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac. 5. 数学思想方法的运用: (1)数形结合思想:借助数轴上的点来表 示有理数,使有理数的绝对值、相反数及有理 数的大小比较等问题简单直观化. (2)分类讨论思想:数的范围扩大,字母 a 既可以表示正数,也可以表示负数和0;绝 对值的化简也要分类讨论绝对值里面的数的 符号. (3)转化思想:有理数的运算可以相互转 化,减法 相反数 →加法,除法 倒数 →乘法. 考点1 具有相反意义的量 例1 (浙江绍兴中考题)如果向东走 2m记为+2m,则向西走3m可记为 ( ) A. +3m B. +2m C. -3m D. -2m 解析 首先审清题意,明确“正”和“负” 所表示的意义;再根据题意作答. 解答 如果向东走2m时,记作+2m, 那么向西走3m应记作-3m.故选C. 点评 考查了相反意义的量,相反意义 的量用正数和负数来表示. 考点2 有理数有关概念———数轴、相 反数、绝对值、倒数 例2 (湖南益阳中考题)数轴上的点A 到原点的距离是6,则点A 表示的数为 ( ) A. 6或-6 B. 6 C. -6 D. 3或-3 解析 数轴上的点 A 到原点的距离是 6,即点A 表示的数的绝对值是6,所以这个 7 第 一 部 分 温 故 知 新 数是6或-6. 解答 A 点评 绝对值等于同一个正数的有理数 有两个,它们互为相反数. 考点3 有理数大小比较 例3 (浙江金华中考题)如图,若A 是 数a 在数轴上对应的点,则关于a,-a,1的 大小关系表示正确的是 ( ) A. a<1<-a B. a<-a<1 C. 1<-a<a D. -a<a<1 解析 -a 表示a 的相反数,它和a