清单12 数列求和（7个考点梳理+题型解读+提升训练）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单12 数列求和（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识导图】 【考点分布图】 【知识清单】 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 三．常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 【考点精讲】 考点1：公式法 例1．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例2．（2023·湖南·高二校联考期中）等差数列满足，，前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值. 例3．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 考点2：错位相减法 例4．（2023·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 例5．（2023·河南开封·高二校考期中）已知等差数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和； 例6．（2023·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知数列，满足 (1)证明：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 考点3：分组求和法 例7．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知递增的等差数列和等比数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若，求的前项和. 例8．（2023·北京·高二校联考期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求的通项公式和前项和. 例9．（2023·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）已知数列，满足，，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列． (1)求，的通项公式； (2)求的前n项和． 考点4：裂项相消法 例10．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知数列中，，为等差数列，它的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 例11．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列中，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 例12．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列为非零数列，且满足. (1)求及数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且满足，证明：. 例13．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）在数列中，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前项和为，证明：. 考点5：倒序相加法 例14．（2023·高二校考课时练习）在数列中，，则…的值是 . 例15．（2023·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ． 例16．（2023·江西萍乡·统考二模）已知函数，等差数列满足，则 ． 例17．（2023·高二课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 考点6：并项求和 例18．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前项和． 例19．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知数列各项均为正数，且，. (1)证明：为等差数列，并求出通项公式； (2)设，求. 例20．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项