清单14 导数的综合问题（9个考点梳理+题型解读+提升训练）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单14 导数的综合问题（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识导图】 【考点分布图】 【知识清单】 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 3、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 5、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【考点精讲】 考点1：构造函数解不等式问题 例1．（2023·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·四川乐山·高二校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 考点2：证明不等式 例4．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)证明：当x＞0时，． 例5．（2023·辽宁大连·高二统考期末）已知函数（R，为自然对数的底数），． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，． 例6．（2023·广西河池·高二统考期末）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求证：． 考点3：恒成立问题 例7．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，其中 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 例8．（2023·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）已知函数，的图象在点处的切线方程为，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线，其中为自然对数的底数. (1)求函数的解析式及的值； (2)若对于任意恒成立，求整数的最大值. 参考数据：， 例9．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由． 考点4：能成立问题 例10．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数，对，，使得成立，求实数的取值范围． 例11．（2023·四川