6.3.2离散型随机变量的方差（同步课件）-高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

6.3.2离散型随机变量的方差 温故而知新 1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望） 2、均值的性质 3、两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则 反映了离散型随机变量取值的平均水平. 设在一组数据x1，x2 ，…， xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是： 叫做这组数据的方差. 方差说明了这组数据的波动情况. 方差定义 问题1 有两批灯泡，其平均寿命都是1000 h，仅由这一指标还不能判断这两批灯泡质量的好坏.事实上，虽然两批灯泡的平均寿命相当，但有可能其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h〜1 050 h；而另一批灯泡有可能一部分寿命很长，能达到1500 h，另一部分寿命很短，只能达到500 h左右.因此，为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度.若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差. 实例分析1 设有A,B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为X,Y（单位:h）. 已知X,Y的分布列如表1、表2： 表1 表2 X 950 1000 1050 P X 700 1000 1300 P 根据X,Y的分布列计算可得EX=EY=1000 h,也就是这两种灯泡的平均寿命都是1000 h. 进一步观察，我们可以发现，A类型的灯泡寿命介于950 h〜1050 h，B类型的灯泡寿命介于700 h〜1300 h，直观上看，A类型的灯泡寿命X与其均值的偏离程度要小一些. 两个均值相等 思考 怎样定量刻画随机变量的离散程度？ (1).样本的离散程度是用哪个量刻画的？ 样本方差 (2).能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？ 随机变量 X 的方差 对于离散型随机变量X的概率分布如下表： (其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1) (xi－ E(X))2 描述了xi (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，故 (x1－E(X))2 p1＋ (x2－E(X))2 p2＋...＋ (xn－E(X))2pn 称为离散型随机变量X的方差，记为D(X). 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度. 离散型随机变量的方差定义 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 其算术平方根为X的标准差： 记为 上式为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X 的标准差，记作 . 随机变量的方差DX和标准差 都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差) 越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散. 在问题1中,A类型灯泡寿命X的方差为 标准差为 标准差为 显然，A类型灯泡的方差要小，质量要好. B类型灯泡寿命Y的方差为 方差力量显神通--金猴奋起千斤棒，玉宇澄清万里埃 如何评价这两名同学的射击水平？ 问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录， 甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示： 表1 表2 即乙同学的射击成绩相对更稳定. D(X)1.16,D(Y)0.92. E(X)8,E(Y)8. 因为 D(Y) D(X) (等价地 D(Y)  D(X) ) ，所以随机变量Y的取值相对更集中， Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 方差用处大--万紫千红总是春 1.制造业中，质量控制指标 2.农业中，作物长势比较及利润决策 4.数学建模中，用于模型评估 统计分析 3.金融领域中，可用于风险评估 批判质疑出真知--曲径通幽是智者，大起大落亦精彩 质疑：均值相等，方差是否越小越好？ D(X) (xi  E(X))2 pi 公式化简--行到水穷处，坐看云起时 问题3：方差的计算公式可以简化吗？ n i1 “方均值”减均值方 “差方”加权平均数 线性性质--行到水穷处，坐看云起时 问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？ 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和 期望的性质有什么不同？ 性质1 性质2 性质3 D(X b)  D(X) D(aX)  a2D(X)