第20讲 导数的综合应用-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第20讲 导数的综合应用 【人教A版2019】 ·模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 ·模块二 导数中的不等式证明 ·模块三 导数中的恒成立、存在性问题 ·模块四 导数在解决实际问题中的应用 ·模块五 课后作业 模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 【考点1 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 【例1.1】（2023上·辽宁大连·高三校考期中）已知函数有且只有一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·重庆渝中·高三统考期中）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·安徽·高三校联考期中）已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·四川泸州·四川省校考模拟预测）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 模块二 导数中的不等式证明 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【考点2 利用导数证明不等式】 【例2.1】（2023上·山东青岛·高三统考期中）已知函数（……是自然对数底数）． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：． 【例2.2】（2023·四川宜宾·统考一模）已知，记在处的切线方程为. (1)证明：； (2)若方程有两个不相等的实根，证明：. 【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若，且，求证：． 【变式2.2】（2023上·天津滨海新·高三校考开学考试）已知函数，. (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数k的值； (2)设，当时， （i）证明：函数存在唯一的极大值点； （ii）证明：. 模块三 导数中的恒成立、存在性问题 1．导数中的恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【考点3 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例3.1】（2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·模拟预测）已知，当时，恒成立，则b的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023上·河南·高三校联考期中）已知函数． (1)若在区间上无零点，求实数m的取值范围； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【变式3.2】（2023上·北京东城·高三校考阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)设实数a使得对恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由． 【考点4 利用导数研究存在性问题】 【例4.1】（2023下·北京·高二校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数，若函数的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使成立，求实数m的取值范围． 【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【考点5 利用导数研究双变量问题】 【例5.1】（2023上·广东广州