和与差的三角公式应用剖析～三角函数y=Asin(ωx+φ))对称轴的应用-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■胡贵平 两角和与差的三角公式主要涉及的是和 与差的正弦、余弦、正切公式,其主要应用于 给角求值、三角函数的化简、三角恒等式的证 明等。 一、求值问题 例1 已知 π 2<β<α< 3π 4 ,cosα-β = 5 13 ,sinα+β =- 4 5 ,求sin2α的值。 解:由π 2<β<α< 3π 4 ,可得β<α,0<α- β< π 4 ,π<α+β< 3π 2 ,所 以sinα-β = 1-cos2 α-β = 12 13 , cosα+β = - 1-sin2 α+β = - 3 5 。故 sin2α = sin[(α+β)+ (α -β)]=sinα+β · cosα-β +cosα+β sin(α-β)=- 56 65 。 评注:观察题设中角之间的内在联系,利 用条件和结论中的三角函数的变化规律,寻 找变换的切入点。 二、公式的逆向或变形应用 例2 (1)求值:sin32°cos28°+sin58°· cos62°。 (2)求值:tan10°+tan50°+ 3tan10°· tan50°。 解:(1)原式=sin32°cos28°+cos32°· sin28°=sin32°+28° =sin60°= 3 2 。 (2)因为tan10°+tan50°=tan60°· 1-tan10°tan50° ,所以tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°) + 3tan10°tan50°= 3- 3tan10°tan50°+ 3tan10°tan50°= 3。 评注:从整体出发,对局部进行三角变 换,利用特殊角的三角函数进行求值。 三、辅助角公式的应用 例3 已知函数f(x)=cosx(acosx- sinx)- 3a∈R ,且f π 3 =- 3。 (1)求实数a的值。 (2)求f(x)的单调增区间。 (3)求函数f(x)在 0, π 2 上的最小值 及对应的x 值。 解:(1)因为 f(x)=cosx(acosx- sinx)- 3 a∈R ,且f π 3 =- 3,所以 f π 3 =cos π3 acosπ3-sinπ3 - 3 = - 3,所以a= 3。 (2)由(1)知f(x)=cosx(3cosx- sinx)- 3= 3cos2x-sinxcosx- 3= 3· 1+cos2x 2 - 1 2sin2x- 3=cos2x+ π 6 - 32。 令2kπ+π≤2x+ π 6≤2kπ+2π ,可得函数 f(x)的单调增区间为 kπ+ 5π 12 ,kπ+ 11π 12 , k∈Z。 (3)由 x∈ 0, π 2 ,可 得 2x+ π6 ∈ π 6 ,7π 6 ,所以当2x+π6=π,即x=5π12时, f(x)=cos2x+ π 6 - 32 取 得 最 小 值 为 - 3 2-1 。故 当 x= 5π 12 时,函 数 f(x)在 0, π 2 上的最小值为- 32-1。 评注:在研究三角函数的性质时,可把原 函数化为y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,这 样有利于问题的解决。 作者单位:甘肃省白银市第一中学 (责任编辑 郭正华) 91 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 三角函数y=Asin(ωx+φ)对称轴的应用 ■许卫华 函数y=Asin(ωx+φ)是由正弦函数 y=sinx 复合而成的,令ωx+φ=kπ+ π 2 (k∈Z),可得y=Asin(ωx+φ)的对称轴方 程为x= kπ+ π 2-φ ω (k∈Z)。利用类比可得 函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程为x= kπ+π-φ ω (k∈Z)。下面通过典型例题谈谈 如何应用三角函数的对称轴解题。 一、三角函数的解析式问题 例1 设 函 数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),函数f(x)图像的一条对称轴 是直线x= π 8 ,求φ的值。 分析:由函数y=sinx 的对称轴是x= kπ+ π 2 (k∈Z),可令2x+φ=kπ+ π 2 (k∈ Z),结合条件-π<φ<0求解。 解:由x= π 8 是函数y=f(x)的图像的 一条对称轴,可得sin2× π 8+φ =±1,所以 π 4+φ=kπ+ π 2 ,k∈Z,即φ=kπ+ π 4 ,k∈Z。 又-π<φ<0,所以φ=- 3π 4 。 对称轴都是经过函数图 像的最高点或最低点的直线, 把对称轴方程代入到函数解析式中,此时函 数取得最大值或最小值。本题的易错点是: 令ωx+φ=2kπ+ π 2 (k∈Z),从而出现错误。 变式练习1:函数f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ 为常数,