5.7 三角函数的应用（4大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

5.7 三角函数的应用 重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题； 难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型。 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期T＝. 3、简谐运动的频率f＝＝. 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 二、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 三、建立函数模型的一般步骤 四、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 五、解三角函数应用问题的基本步骤 六、建立三角函数拟合模型的注意事项 1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． 2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． 3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 三角函数模型在物理中的应用 【例1】（2022·江苏南京·高三统考阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ） A． B． C．1s D． 【变式1-1】（2022·湖南长沙·湖南师大附中校考三模）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（ ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·广东东莞·高二校考期中）（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（ ） A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小 【变式1-3】（2023·山东菏泽·高一鄄城县第一中学校考期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，.在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s.且最高点与最低点间的距离为10cm. （1）求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； （2）若小球在内经过最高点的次数恰为25次，求的取值范围. 题型二 三角函数模型在生活中的应用 【例2】（2023·江西萍乡·高一统考期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（ ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（ ） A． B．4m C． D． 【变式2-2】（2023·湖北恩施·高三校考期中）（多选）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数单位：辆上班高峰期某十字路口的车流量由函数给出，的单位是，则下列时间段中车流量是增加的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·四川眉山·高一校考期中）海水受日月的引力，