27.2 相似三角形基础模型培优原创讲义 2022—2023学年人教版数学九年级下册

第2讲 相似三角形的基础模型讲义 模型1 “A”型与“X”型. 示意图 结论 A型：（平行） 如图，已知DE∥BC，则△ADE∽△ABC X型：（平行） 如图，已知AB∥CD，则△ABO∽△DCO 模型2 子母型 “类射影”与射影模型 示意图 结论 类射影： 如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB（AA），∴=AD·AC. 射影定理 如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则 模型3 “旋转相似”与“一线三等角” 示意图 结论 旋转相似： 如图，已知△ABC ∽△ADE，则 ，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD ∽△CAE（SAS） 一线三等角： 如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA） 模型1-A字模型 1．如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为 ．    2．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF= ． 模型2-X字模型 1．如图，中，是两条中线，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，线段交于E，，若，，则 ． 3．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ． 3．如图，在中，点E是中点，连接，交于点F，如果的面积为6，则的面积为 . 4．如图（10），梯形中，，点是边的中点， 连结交于点，的延长线交的延长线于点． 1.求证： 2.若，，求线段的长 5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝S△OCF；③AC∶BD＝∶7；④FB2＝OF•DF其中正确的是 ．（填序号） 模型3-子母型 1．如图，在中，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若两点同时出发，则当以点为顶点的三角形与相似时，运动时间为 s． 2．如图，在中，，于D， (1)求证： (2)若，，求的长． 模型3-一线三等角/三垂直 1．如图等边的边长为4，点P为上一点且，点D为上一点，要使与相似，则的长为 ． 2．如图：，点O在上由点N向点Q方向移动，当和相似时， ．    3．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转． （1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP； （2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） （3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由． 4、如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点E与正方形的顶点A重合三角板的一边交于点F．另一边交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给子证明；若不成立．请说明理由； (3)如图3，将（3）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角版的一边经过点B，其他条件不变，若，，求的值． 模型4-旋转模型 1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于 ． 2．如图，在和中，,且．求证：    3．（1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； 自检 1．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O ，点 E 在边 BC 上， AE 与 BD 相交于点 G ，若 AG : GE=3 : 1，则 EC : BC= ． 2．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为 ． 3．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论