4.3.1等比数列的概念课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选修第二册第四章《数列》 4.3.1等比数列的概念 具体实例 等差数列 的概念 代数运算 归纳法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 形 抽象概念 等差数列： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 还可以 做哪些运算？ 复习引入 问题引入 《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完. 形象地说明了事物具有无限可分性. 实例1.从数学角度看，如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： 实例2.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 探究新知 思考：请同学们仔细观察以下四个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律? 共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 如果用{an}表示数列②，那么有 取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9． ② ； ③ ； ④. 探究新知 除法运算 5 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________. 常数叫做等____数列的_____ 等比数列 二 比 同 等比数列 公比 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示 比 探究1：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 定 义 探究新知 等比数列 等差数列 追问1：用代数法怎么表示等比数列的定义呢？ 符号 公差d可正、可负、可为零 追问2：那公比q的取值范围是什么呢？ 探究新知 由等比数列的定义，判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比. (1) 1，-3，9，-27，81，… (5) 5，5，5，5，5，5，… 是,公比 q=-3 (3) 0，1，0，1； (4) 1，0，1，0，1，0，… 不是等比数列 不是等比数列 是,公比 q=1 探究新知 (2) ，… 不是等比数列 非零常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列. 等比数列的首项不能为0，公比也不能为0 等比数列 等差数列 追问2：那公比q的取值范围是什么呢？ 符号 公差d可正、可负、可为零 公比q可正、可负、不可为零 探究新知 等差中项 等比中项 如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数a, G, b组成等比数列，那么__叫做__和__的等比中项. 定义 a, A, b成等差数列 a, G, b成等比数列 关系 探究2：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 探究新知 G a b 探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 等差数列 等比数列 不完全归纳法 探究新知 ∵， ， ， …… 探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 等差数列 等比数列 不完全归纳法 探究新知 ∵， ， ， …… 探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 等差数列 等比数列 不完全归纳法 探究新知 ∵ ， ， ， …… 累乘法 累加法 等差数列 等比数列 探究新知 累乘，得到： ， 即 验证 n=1时，上式成立 等比数列的通项公式： 思考：已知等比数列的第m项am，公比为q， 求通项公式an. 等比数列的任意一项都可以由该数列的第一项和公比表示. 探究新知 解法1 解法2 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 指数型函数 探究4：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？ 探究新知 ① ② 例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第五项. 典例分析 注意：若a, b同号,则有两个等比中项;若a, b异号,则无等比中项. 典例分析 例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第五项. 注意：等比中项还要关注项的关系，等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的