内容正文:
当c∈(100,105]时,
f(c)=p(c)+
q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+
(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02。
综 上 可 得, 函 数 f (c ) =
-0.008c+0.82,95≤c≤100,
0.01c-0.98,100<c≤105。
所以f(c)在区间[95,105]内的最小值
为0.02。
点评:本题新定义了两个统计量:医学检
测的漏诊率p(c)和误诊率q(c)。第一问由
第一个频率分布直方图可先求出c,再根据第
二个频率分布直方图求出c≥97.5的矩形面
积即可 解 出;第 二 问 根 据 题 意 确 定 分 段 点
100,即可得出f(c)的解析式,再根据分段函
数的最值求法即可解出。本题不仅考查在新
情境中运用统计知识解决问题,还与函数知
识产生交汇,是一道值得好好研究的能力题。
(责任编辑 王福华)
强化数学运算,聚焦统计策略,提升核心素养———
以2023年高考数学全国乙卷第17题的解法溯源及拓展探究为例
■广东省广州市广州大同中学 袁 安
2023年高考数学全国乙卷第17题貌似
平淡无奇,实则韵味十足,蕴藏了众多的计算
方法和数学思想。符合基础性、综合性、应用
性、创新性的高考试题原则,是检测数学运
算、数据分析等核心素养,选拔人才的基础好
题。本文通过对新高考乙卷统计试题的分
析、解答、溯源和再研究,为同学们解答高考
试题提供思路和方法。
一、真题呈现
题目 (2023年全国乙卷17)某厂为比
较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理
效应,进行10次配对试验,每次配对试验选
用材质相同的两个橡胶产品,随机地选择其
中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,
测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两
种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
xi,yi(i=1,2,…,10)。试验结果如表1:
表1
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545533551522575544541568596548
伸缩率yi 536527543530560533522550576536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,
…,z10 的样本平均数为z,样本方差为s2。
(1)求z,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸
缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是
否有显著提高(如果z≥2
s2
10
,则认为甲工
艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理
后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不
认为有显著提高)。
赏析:试题是通过公平的工业背景收集
大量的数据,需要认真读题和审题,理解符号
xi,yi(i=1,2,…,10)及定义新符号zi=
xi-yi(i=1,2,…,10)的意义,再根据统计
分析,发现规律,解答问题。第(1)问比较简
单,通过分析可知需要求10个数的均值与方
差,但在高考的压力下,选择什么方法和策略
是非常关键的。第(2)问是新定义题型,要求
考生在理解给出数学符号及意义的基础上,
对知识进行及时应用,并做出正确、合理的判
断。这两个问题层层递进,步步提升,每一步
都要求考生有较强的数据分析与处理能力。
二、多角度解法荟萃
(1)分析:求收集到的两组数据xi,yi(i
=1,2,…,10)对应的差值zi=xi-yi(i=1,
2,…,10)的平均数与方差。可以根据试题要
求,在原表格基础上快速求出对应的值,再通
过相应的计算公式求解。
解法一:妙用配凑,化零为整。
由题意可得表2:
表2
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545533551522575544541568596548
伸缩率yi 536527543530560533522550576536
zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12
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解题篇 经典题突破方法
高考数学 2023年12月
所以z=
1
10
[9+6+8+(-8)+15+11
+19+18+20+12]=
1
10
{(9+6+15)+[8+
(-8)]+(11+19)+(18+12)+20)}=11。
s2=
1
10
[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2
+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19
-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-
11)2]=
1
10
(4+25+9+192+16+0+64+4