专题33 等差数列及其前n项和10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)

专题33 等差数列及其前n项和10种常见考法归类 1.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 2.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 3.等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列 解答题 中的证 明问题 等差中项法 对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 (为常数,)⇔{an}是等差数列 选择、 填空题 中的判 断问题 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列 是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 4.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （3） 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 5.求等差数列前n项和最值的常用方法 （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； （3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. （4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用定义及前n项和求等差数列的通项公式 (一)利用定义求通项 (二)利用前n项和求通项 考点二 等差数列的基本量的计算 (一)等差数列通项公式及其应用 (二)等差数列前n项和的有关计算 (三)与数学文化的结合 考点三 等差数列的判定与证明 考点四 等差数列性质的应用 (一)等差中项的应用 (二)利用等差数列性质计算及应用 考点五 等差数列数列的函数性质 (一)等差数列的单调性 (二)求等差数列中的最大（小）项 考点六 等差数列前n项和的性质 (一)等差数列前n项和与中项性质 (二)等差数列片段和的性质 (三)等差数列前n项和与n的比值问题 (四)两个等差数列前n项和的比值问题 考点七 等差数列前n项和的最值问题 考点八 等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题 (一)等差数列偶数项或奇数项的和 (二)含绝对值的等差数列的前n项和 考点九 等差数列的综合问题 考点十 等差数列的简单应用 考点一 利用定义及前n项和求等差数列的通项公式 (一)利用定义求通项 1．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县