直线与圆锥曲线位置关系的三类题型-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

直线与圆锥曲线位置关系的三类题型 ■山东省东营市利津县第一中学 刘素梅 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判 断及应用 例 1 直线y=kx-1与双曲线x2- y2=4有公共点,则k的取值范围为( )。 A.- 5 2 ,5 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 B.- 5 2 ,-1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 ∪(-1,1)∪ 1,52 􀭤􀭥 􀪁􀪁 C.-∞,- 5 2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ∪ 5 2 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 命题意图:该题考查直线与圆锥曲线的 位置关系,一般要转化为一元二次方程通过 其判别式来达到目的,也考查了运算求解能 力及转化与化归思想。同时,一些问题的解 决也会用到数形结合思想。 解析:由 y=kx-1, x2-y2=4, 可得(1-k2)x2+ 2kx-5=0。直线y=kx-1与双曲线x2- y2=4有公共点,当1-k2=0,即k=±1时, 方程2x-5=0或-2x-5=0有一解,此时 直线与曲线有一个公共点,所以k=±1符合 题意。 由 1-k2≠0, Δ=4k2-4(1-k2)×(-5)≥0, 可得 k2≤ 5 4 且k2≠1。 因为当k=±1,即k2=1时也成立,所 以k2≤ 5 4 ,即- 5 2≤k≤ 5 2 ,选A。 素养点评:1.判定方法。 ①代数法,即联立直线与圆锥曲线方程 可得到一个关于x,y 的方程组,消去y(或 x)得到一元方程,此方程根的个数即为交点 个数,方程组的解即为交点坐标。 ②几何法,即画出直线与圆锥曲线的图 像,根据图像判断公共点个数。 2.关注点。 ①联立直线与圆锥曲线的方程消元后, 应注意讨论二次项系数是否为零。 ②判断直线与圆锥曲线位置关系时,判 别式Δ 起着关键性的作用,第一,可以限定所 给参数的范围;第二,可以取舍某些解以免产 生增根。 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题 例 2 斜率为1的直线l与椭圆x 2 4+ y2=1相交于A,B 两点,求|AB|的最大值。 命题意图:斜率为k 的直线l与圆锥曲 线C 相交于A,B 两点,求其弦长|AB|,有弦 长公式可用,因此解决直线与圆锥曲线的弦 长问题时应牢记弦长公式是解决问题的根 本。同时,解答这类问题要求同学们具有较 强的运算能力,在解答问题的过程中要注意 计算数据的正确性。 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线l 的方程为y=x+t,代入椭圆方程 x2 4+y 2= 1,消去y 得 5 4x 2+2tx+t2-1=0。 由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即 t2<5。 由根与系数的关系得,x1+x2=- 8 5t , x1x2= 4(t2-1) 5 。 因 此, 弦 长 | AB | = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]= 4 2 × 5-t2 5 ≤ 4 10 5 ,其最大值为4 10 5 。 素养点评:求弦长可利用弦长公式,由直 线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到一元 二次方程,利用根与系数的关系得到两根之 和、两根之积的代数式,然后整体代入弦长公 式求解。当涉及过焦点的弦的问题,可灵活 利用圆锥曲线的定义求解。 题型三 有关弦的中点问题 例 3 已知P(1,1)为椭圆x 2 4+ y2 2=1 53 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月 内一定点,经过点P 引一条弦交椭圆于A,B 两点,且此弦被点 P 平分,求此弦所在的直 线方程。 命题意图:有关弦的中点问题涉及弦的中 点与直线的斜率问题,一般考虑“点差法”,构 造出kAB= y1-y2 x1-x2 和x1+x2,y1+y2,整体代 换,求出中点或斜率,体现“设而不求”的思想。 解析:(方法一)易知此弦所在直线的斜 率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1), A(x1,y1),B(x2,y2)。 联 立 y-1=k(x-1), x2 4+ y2 2=1 , 消 去 y 得, (2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0。 则x1+x2= 4k(k-1) 2k2+1 。 又x1+x2=2,故 4k(k-1) 2k2+1 =2,解得k =- 1 2 。 故此 弦 所 在 的 直 线 方 程 为 y-1= - 1 2 (x-1),即x+2y-3=0。 (方法二)易知此弦所在直线的斜率存 在,所以设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2)。 则 x21 4+ y21 2=1 。① x22 4+ y22 2=1 。② ①-②得: (x1+x2)(x1-x2) 4 + (y1+y2)(y1-y2) 2 =0 。 因为 x1+x2=2,y1+y2 =2,所 以 x1-x2