第5章 一元一次方程（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案（浙教版）

第5章 一元一次方程（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 【例1】（2023上·江苏·七年级专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【变式1】（2023上·江苏泰州·七年级统考期中）若不论取什么实数，关于x的方程（a、b为常数）的解总是，则的值是 ． 【变式2】（2023上·四川成都·七年级四川省成都市石室联合中学校考期中）已知方程是关于的一元一次方程，则 ． 二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 【例2】（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（2023·浙江杭州·七年级统考期末）已知是常数， ． (1)若，，求； (2)试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； (3)若的取值与无关，请说明． 【变式2】（2023·河北张家口·统考一模）化简整式(P是整式) (1)求P（用含m的式子表示）； (2)若，求Q的值． 三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【例3】（2023上·全国·七年级专题练习）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【变式】（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期中）解方程： (1)； (2)． 四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 【例4】（2023上·河北廊坊·七年级校考期中）用方程解决下列问题． (1)甲数是，比乙数的2倍少，求乙数； (2)某数与8的差等于该数的相反数的一半 【变式1】（2023上·浙江·七年级专题练习）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为，B种商品按标价出售每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ (3)在（2）的条件下，A商品按标价全部出售，B商品按标价先出售一部分后，余下的再按标价九折出售，A，B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了150元，则B商品按标价售出多少件？ 【变式2】（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）如图，我们把以O为圆心，1，2，3，…，n（n为正整数）为半径的圆：，，，…，称为“纬线”，过O的三条“数轴”被点O分成六条射线，分别记：，，…，称为“经线”，“经线”与“纬线”的交点称为“格点”（O为特殊的格点），把所有整数按如图方式放在格点上（整数0放在“原点”O处）．    如：把整数1摆放到与交点位置，记作：；又如，格点A表示的数是，则A点