第2章 有理数的运算（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案（浙教版）

第2章 有理数的运算（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【例1】（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）． 【变式1】（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）． 【变式2】（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）． 二、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 【例2】（2022上·山西吕梁·七年级统考阶段练习）阅读：比较与的大小． 方法一：利用两数的差的正负来判断． ． 方法二：利用两数的商，看商是大于1还是小于1来判断． ． 请从以上两种方法中任选一种你认为简单的方法比较下列有理数的大小： (1)和； (2)和． 【变式1】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式2】（2023上·四川资阳·七年级四川省乐至中学校考期中）比较大小： ． 【变式3】（2022上·浙江·七年级期中）倒数是 ，比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式4】（2023上·湖北恩施·七年级校考阶段练习）在数轴上表示下列各数，并用“”把他们连接起来． -3；；0；-4.5；3 【变式5】（2023上·江苏连云港·七年级统考期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 三、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【例3】（2023上·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）下列说法正确的是(    )． A．有4个有效数字 B．万精确到 C．精确到千分位 D．有个有效数字 【变式1】（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）用四舍五入法对取近似数（精确到百分位）为 ． 【变式2】（2023上·浙江绍兴·七年级校考期中）用四舍五入法把精确到千位后，得到的近似数用科学记数法表示为 ． 核心素养提升 1. 数学运算——运用转化思想进行有理数的运算 1．（2022上·北京昌平·七年级统考期中）计算： 2. 计算：－16÷4×＝