4.3.2等比数列的前n项和公式课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2　等比数列的前n项和公式 版块导航 版块导航 知识导学 版块导航 版块导航 版块导航 例题解析与针对练习 版块导航 版块导航 版块导航 1.3：求下列等比数列的前6项和 (1) (2) 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 当堂检测 版块导航 版块导航 版块导航 课堂总结 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 思考： 版块导航 跟踪练习 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 版块导航 创 新 题 型 版块导航 版块导航 版块导航 学习目标 1.理解并掌握等比数列前n项和公式 及其推导过程． 2.能够应用前n项和公式解决等比数 列有关问题. 等比数列的前n项和公式 数列{an}是公比为q的等比数列，设前n项和为Sn，则 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q). 等比数列前n项和公式的推导 一般地，对于等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.根据等比数列的通项公式，上 式可写成 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1①， 两边同乘q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn②， 用①的两边分别减去②的两边，得(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，等比数列的前n项和公式为Sn＝eq \f(a11－qn,1－q).因为a1qn＝(a1qn－1)q＝anq，所以上面的公式还可以写成Sn＝eq \f(a1－anq,1－q). 当q＝1时，数列{an}即为常数列a1，a1，a1，…，a1，…，易得它的前n项和Sn＝na1. 综上所述，如果数列{an}是等比数列，且Sn为其前n项和，则Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1,\f(a11－qn,1－q)，q≠1)). 应用五个量 的关系知三求二 例1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn， ，则 解： 练习1.1：在等比数列{an}中，公比 则 解： 1.2: 等比数列{an}的公比q＝2，首项 a1＝2，则Sn等于(　　) A．n2＋n　　B．n2－n C．2n＋1－2 D．2n－1 答案：C 解： ； 例2．在等比数列{an}中，a1＋an＝66， a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126， 求n及公比q. 解：n的值为6，公比q＝2或eq \f(1,2). 练习2：在等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则公比q=_______ 答案：2或-3 例3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn， 若S3＋S6＝2S9，求公比q的值． 解法一：若q＝1，则S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1≠2S9， ∴q≠1.由已知可得 eq \f(a11－q3,1－q)＋eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(2a11－q9,1－q)， ∴q3(2q6－q3－1)＝0. ∵q≠0，∴2q6－q3－1＝0. ∴(q3－1)(2q3＋1)＝0. ∵q≠1，∴q3＝－eq \f(1,2).∴q＝－eq \f(\r(3,4),2). 解法二：∵S3＋S6＝2S9， ∴2(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＋a6＝2(a1＋a2＋…＋a9)． ∴－(a4＋a5＋a6)＝2(a7＋a8＋a9)， ∴－(a4＋a5＋a6)＝2q3(a4＋a5＋a6)． ∴q3＝－eq \f(1,2)，∴q＝－eq \f(\r(3,4),2). 练习3：在等比数列{an}中，S3＝eq \f(7,2)，S6＝eq \f(63,2)，求an. 解：由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝eq \f(7,2)，S6＝eq \f(63,2)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,2)　　①,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,2) ②))②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2. 将q＝2代入①可求得a1＝eq \f(1,2)，因此an＝a1qn－1＝2n－2. 1.若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an (n∈N*)，则a5＝_____；前8项的和 S8＝_____.(用数字作答) 2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则eq \f(S4,a2)＝_______. 答案：eq \f(15,2) 3.等比数列{an}中，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是______. 类型：等比数列前n项和Sn与通项an的关系 1.数列{an}的前n项和Sn＝2·3n＋m