4.3.1等比数列的概念 学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学选择性必修二《学案》 4.3.1等比数列的概念 一、学习目标 1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2.掌握等比数列的通项公式及推导过程． 二、知识导学 1.一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的________的比都等于________常数，那么这个数列就叫做________．这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母________表示． 2．如果三个数a、G、b组成________，则G叫做a和b的________， 由＝推得G2＝________，因此G＝________. 3.设等比数列的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝____________. 三、例题解析 题型一 通项公式 【例1】在等比数列{an}中， (1) 已知a3＝9，a6＝243，求a5； (2) 已知a1＝1，an＋1＝2an (n≥1),求等比数列的通项公式. 练习1.在等比数列{an}中， (1)已知a1＝，an＝，q＝，求n. (2)已知a1＝3，a3＝27.求等比数列的通项公式. 题型二 等比中项 【例2】 等差数列中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项， 则＝________. 练习2.1：若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值． 练习2.2：等差数列的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是(　　) A．90 B．100 C．145 D．190 题型三 等比数列判定与证明 【例3】已知数列的前n项和为，＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列． 练习3.已知数列满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*. (1)求证：{an－}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 四、当堂检测 1．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　) A．　　　 B．±2 C．± D．2 2．等比数列中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则公比q等于(　　) A. 　　　　B. C．2 D．8 3．已知为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，则an＝________. 4．已知等比数列中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________. 5．已知等比数列中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________. 6．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． 7. 已知数列满足,n∈N*. (1)求； (2)求数列的通项公式． 4.3.1 等比数列的概念 第2课时 等比数列的性质 一、学习目标 1．进一步巩固等比数列的概念和通项公式． 2．掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决问题. 二、知识导学 复习：首项为公比为q的等比数列{}的通项公式为________________. 性质1.设{an}为等比数列,若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)， 则___________________； 特别的：m＋n＝2p，则___________________. 性质2.若{an}是公比为q的等比数列，则 (m，n∈N＋)， 即＝______________. 3、 例题解析 【例1】等比数列{an}中， (1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若则________. (2)若a3＝2，a6＝12，则a9＝________. (3)若a5＝－2，则此数列前9项之积为________． (4)已知an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (5)已知a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________． 练习1.1：在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为(　　) A．－64　 B．64 C．－48 D．48 练习1.2：在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝16，则a10＝________. 练习1.3：在等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________． 练习1.4：在各项均为正数的等比数列{an}中，若 则________. 【例2】 等比数列{an}中，已知a3＝8，a6＝64. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 练习2：已知{an}是等差数列，a1＝2，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a3，a9成等比数列，则S8＝__________. 四、当堂检测 1. 等比数列{an}中，a2019a2