15.3　 分式方程的解法 教案 2023-2024学年人教版数学八年级上册

15.3　分式方程 第1课时　分式方程的解法 教学目标： 1.了解分式方程的概念,会判断一个方程是不是分式方程. 2.掌握解分式方程的基本思路和方法. 3.了解分式方程验根的必要性. 教学重难点： 重点:解分式方程的基本思路和解法. 难点:解分式方程时可能无解的原因. 教学过程： 导入 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,则江水的流速为多少? 解:设江水的流速为x km/h. 由题意,得=. 仔细观察这个方程,未知数的位置有什么特点? 讲授新课 知识点1　分式方程 概念:分母中含未知数的方程叫做分式方程. 分式方程必须满足的条件:(1)是方程;(2)含有分母;(3)分母中含有未知数.三者缺一不可. [教师说明] (1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程,如关于x的方程=5(a为非零常数),分母中虽然含有字母a,但a不是未知数,所以该方程是整式方程. (2)整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数,分母中含有未知数的是分式方程,分母中不含未知数的是整式方程. 范例应用 例1　判断下列哪些是关于x的分式方程? (1)2x= +4; (2) = ; (3)->1; (4)=5; (5)=2. 解:(1)是分式方程,分母含未知数;(2)分母不含未知数,不是分式方程;(3)不是方程,不是分式方程;(4)分母不含未知数,不是分式方程;(5)是分式方程. 注意:判断一个方程是否为分式方程,不能约分化简后判断. 知识点2　分式方程的解法 =. 解:方程两边同乘(30+x)(30-x),得 90(30-x)=60(30+x), 解得x=6. 检验:将x=6代入原分式方程中,左边==右边,因此x=6是原分式方程的解. [归纳]解分式方程的基本思路:是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”. 去分母解分式方程的步骤: (1)方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则须舍去; (4)写出原方程的根. 可简记为:“一化,二解,三检验”. 范例应用 例2　解方程=. 解:方程两边乘x(x-3),得2x=3(x-3). 解得x=9. 检验:当x=9时,x(x-3)≠0. 所以原分式方程的解为x=9. [知识拓展] (1)分式方程的增根:将分式方程转化为整式方程,若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0,则这个解叫做原分式方程的增根; (2)产生增根的原因:分式方程本身就隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程的时候,未知数的取值范围扩大了,因此就有可能产生增根,增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原分式方程,会使原分式方程的分母为0. 课堂训练 1.要把方程-=0化为整式方程,方程两边可以同乘(D) A.3y-6 B.3y C.3(3y-6) D.3y(y-2) 2.下列式子:①=1;②=;③+=0;④;⑤=1.其中分式方程有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.解方程+=2. 解:去分母,得x2+(x+1)(x-1)=2x(x+1). 解得x=-. 检验:把x=-代入x(x+1)=-≠0. 所以原方程的解为x=-. 小结 1.分式方程的概念:分母中含未知数的方程. 2.在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根. 3.解分式方程的一般步骤:一化,二解,三检验. 板书 15.3　分式方程 第1课时　分式方程的解法 反思 在本节课的教学过程中,应从这样的几个方面入手: (1)分式方程和整式方程的区别:分清楚分式方程必须满足的两个条件.同时,由于分母中含有未知数,所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义,否则,这个根就是原方程的增根.正是由于分式方程与整式方程的区别,在解分式方程时必须进行检验. (2)分式方程和整式方程的联系:分式方程通过方程两边都乘最简公分母,约去分母,就可以转化为整式方程来解,教学时应充分渗透这种化归思想. (3)解分式方程时,如果分母是多项式时,应先将分母进行因式分解,从而让学生准确无误地找出最简公分母. 另外,对分式方程可能产生增根的原因,要启发学生认真思考和讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $$