3.2.2.1奇偶性的概念讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质——奇偶性 第20讲、3.2.2.1奇偶性的概念 知识点一、函数奇偶性的概念 问题1、观察下列函数图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? 问题2、结合上图,请完成表格,思考如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢? x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … … g(x)=2-|x| … … 问题3、观察函数f(x)=x和g(x)=的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?你能用符号语言精确地描述这一特征吗?并自主探究结果. ( 知识梳理 偶函数的定义 :一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 如果 ∀ x ∈ D , 都有 - x ∈ D , 且 f (- x )= f ( x ) , 那么函数 f ( x ) 就叫做 偶函数 . 奇函数的定义 :一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 如果 ∀ x ∈ D , 都有 - x ∈ D , 且 f (- x )=- f ( x ) , 那么函数 f ( x ) 就叫做 奇函数 . ) ( 注意点 : (1) 函数的奇偶性是函数的整体性质. (2) 先判断定义域是否关于原点对称,对于 ∀ x ∈ D , 都有 - x ∈ D , 即便 定义域关于原点对称 ,还需判断 f (- x ) 与 f ( x ) 的关系 , 若 f (- x )= f ( x ), 则函数是偶函数,若 f (- x )=- f ( x ), 则函数是奇函数,若 f (- x ) ≠ f ( x ), 则函数为非奇非偶函数. (3) 偶函数图象关于 y 轴对称 , 奇函数图象关于原点对称 . (4) 若奇函数在原点处有意义,则必有 f (0)=0 . (5) 若 f (- x )=- f ( x ), 且 f (- x )= f ( x ), 则 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即 f ( x )=0, x ∈ D , D 是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数 . ) 二、函数奇偶性的判断 例1、判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=-|x|; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)=x-. ( 反思感悟 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法: (2)图象法: )【跟踪训练】 1、判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)=x2(x2+2); (3)f(x)=x4; (4)f(x)=x3; (5)f(x)=x+; (6)f(x)=0. 2、判断下列函数的奇偶性. ; ; ; (4). 3、函数的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 三、奇、偶函数的图象及应用 例2、已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数y=f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 延伸探究 若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题? 【跟踪训练】定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示. (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象; (2)比较f(1)与f(3)的大小. 四、利用函数的奇偶性求值 例3、(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=_,b=_. (2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=_. (3)已知函数是偶函数,则实数的值 ( 反思感悟 利用奇偶性求值的常见类型 (1) 求参数值: 若解析式含参数,则根据 f (- x )=- f ( x )或 f (- x )= f ( x )列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数. (2) 求函数值: 利用 f (- x )=- f ( x )或 f (- x )= f ( x )求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. )【跟踪训练】 1、已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,则m的值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2、设函数f(x)=为奇函数,则a=_. 3、已知函数是定义在区间上的奇函数,则f(m)=_. 4、函数为偶函数,则a等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5、若函数是偶函数,则是( ) A.奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 1.函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是