3.2.1.2函数的单调性的应用讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第18讲、3.2.1.2函数的单调性的应用 知识点一、增函数、减函数变形 ( 1、 增函数： 若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是 增函数 ； 对任意 、 ，且 ，若 或 ，则函数 在区间 为单调增函数 2、减函数： 若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是 减函数 . 对任意 、 ，且 ，若 或 ，则函数 在区间 为单调减函数. 口诀：同增异减 ) 知识点二、单调性的性质 (1)增函数增函数增函数，减函数减函数减函数 (2)增函数-减函数增函数，减函数-增函数减函数 (3)函数与函数的单调性相反； (4)倒数关系 时，函数与的单调性相反（）； 时，函数与的单调性相同（） ( 知识点三、单调性的三种应用 有定义我们可以得到单调性的三个重要要素： ① x 1 ＞ x 2 （ x 1 ＜ x 2 ） ； ② f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 ) （ f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) ） ； ③ f ( x ) 是增函数（减函数） . 那么，我们只要知道其中的两个，都可以去推导第三个，这样我们就得到了如下三种题型： )题型一、证明函数单调性（①②③） 例1、根据定义，请研究函数f(x)=kx+b的单调性. 题型二、比较函数值的大小（①③②） 例2、若函数在上是增函数，比较与. 3.2函数的基本性质——单调性与最值 【变式1】、已知函数在(0，+∞)上是减函数，比较与的大小. 【变式2】、已知函数f (x)= x2－2x＋2，那么f (1)，f (－1)，f ()之间的大小关系为 . 题型三、解不等式（②③①） 例3、（1）已知f(2x－3)>f(5x－6)，若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数x的取值范围为________． （2）若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则实数x的取值范围为______． 【变式4】、已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围 【跟踪训练】已知函数，若，则实数的取值范围是________． 知识点四、单调性求参数取值范围 例6、若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 【跟踪训练】 1、函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________． 2、已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 知识点五、定义法证明抽象函数单调性 例5、已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－. （1）求证：f(x)在R上是减函数； （2）求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 【跟踪训练】 已知函数的定义域为R，对任意实数、均有，且，又当时，有. （1） 求的值； （2）求证：是单调递增函数. 1．若函数f(x)在R上是减函数，则有(　　) A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5) 2．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，则x的取值范围是________． 3．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　) A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0 4．函数在和都是增函数，若，且那么（ ） A． B． C． D．无法确定 6．已知函数f（x）、g（x）定义在同一区间D上，f（x）是增函数，g（x）是减函数，且g（x）≠0,则在D上 ( ) A、f(x)+g(x)一定是减函数 B、f(x)-g(x)一定是增函数 C、f(x)·g(x)一定是增函数 D、一定是减函数 6．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是 （ ） A． B． C． D． 7．已知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[2,3) D．[0,3) 8．已知f(x)为R