第8讲、1.5.1全称量词命题和存在量词命题 讲义-2023-2024学年高一上学期初高中数学衔接

1.5全称量词命题与存在量词命题 第8讲、1.5.1全称量词命题与存在量词命题 知识点一、全称量词与全称量词命题 例子：(1)x>3； (2)对所有的x∈R，x>3； (3)2x＋1是整数； (4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数； (5)方程x2＋2x＋a＝0有实根； (6)任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根. 问题1、回顾命题的概念？并判断上列例子中，哪些是命题，为什么？ 问题2、观察左侧的陈述语句(1)(3)(5)和右侧的陈述语句(1)(3)(5)有什么区别，是什么导致了问题1的结论？（定义） 问题3、上述全称量词有哪些，除此之外你还能说出其他表达全部的含义的词吗？（定义） 问题4、我们知道定义我么知道M是x的一个范围，可以用集合来表示，那么请问上述例子的中的集合M有多少个元素？我们能不能断定M的元素个数一定是如之前的结果，如果能请说明理由，如果不能，请举出反例.（1） 问题5、请问，“平行四边形的对角线互相平分”是全称量词命题吗？如果是，请指出其量词，并改写成含有量词的形式；如果不是请说明理由（2） 问题6、根据5的结论，你能举出其他的例子吗？（2） ( 知识梳理 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 、 全部 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有 全称量词 的命题 形式 “ 对 M 中 任意 一个 x ， p ( x ) 成立 ” ， 可用符号简记为 “ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． ) 例1、下列命题中那些是全称量词命题，分别含有哪些全称量词？ （1）对所有的实数x，都有x2≥0； （1）所有的素数都是奇数； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）∀x∈R，｜x｜＋１≥１； （5）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （6）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得S= n×n； （8）对任意一个无理数x，x2也是无理数． 问题7、回顾命题的的真假的判断方法？ 问题8、请判断命题x∈R，x2－2x≥－1的真假，并证明． 问题9、请判断命题x∈R，x2－2x≥1的真假，并证明． 问题10、请思考，如何证明一个全称量词命题的真假？ ( 知识梳理 ： 全称量词与全称量词命题 的真假判断 ( 1 ) 要判定全称量词命题 “ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ” 是真命题， 需要对集合 M 中每个元素 x ， 证明 p ( x ) 成立 ． (4) 要判定全称量词命题 “ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ” 是假命题，只需 举出一个反例 即可 ． ) 例2、判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假． (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A＝cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【跟踪训练】判断下列全称量词命题的真假． (1)每个四边形的内角和都是360°； (2)任何实数都有算术平方根； (3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数． (4)每一个末位是０的整数都是５的倍数； (5)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (6)对任意负数x，x２的平方是正数； (7)梯形的对角线相等 知识点二、存在量词与存在量词命题 例子：(1)2x＋1＝3； (2)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (3)x能被2和3整除； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． (5)|x－1|＜1； (6)有些x∈R，使|x－1|＜1. 问题11、回顾命题的概念？并判断上列例子中，哪些是命题，为什么？ 问题12、观察左侧的陈述语句(1)(3)(5)和右侧的陈述语句(1)(3)(5)有什么区别，是什么导致了问题1的结论？（定义） 问题13、上述存在量词有哪些，除此之外你还能说出其他表达存在的含义的词吗，这个部分放在从集合的角度该如何理解？（定义） ( 知识梳理 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有 存在量词 的命题 形式 “ 存在 M 中的元素 x ， p ( x ) 成立 ” 可用符号简记为 “ ∃ x ∈ M ， p ( x ) ” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈