第7讲、1.4.2充要条件 讲义-2023-2024学年高一上学期初高中数学衔接

1.4充要条件 第7讲、1.4.2充要条件 知识点一、原命题和逆命题 问题1、初中我们学过两直线的判定定理——两直线平行内错角相等和两直线平等的性质定理——内错角相等，两直线平行，请讲他们改写成“若p，则q”的形式，并说明他们的条件和结论之间的位置关系． 问题2、初中我们知道，上述定理是正确的，那么p：两直线平行和q：内错角相等存在什么样的数学关系？ ( 知识梳理 逆命题： 将命题 “ 若 p ， 则 q ” 中的条件 p 和结论 q 互换，就得到一个新的命题“若 q ， 则 p ” 称这个命题为原命题的 逆命题 ． 如果 “ 若 p ， 则 q ” 和它的逆命题 “若 q ， 则 p ” 均是真命题，即既有 p ⇒ q ， 又有 q ⇒ p ， 就记作： p ⇔ q ． 注： 原命题和逆命题是相互依存，同时存在的， 不能说单独的一个命题是逆命题． ) 知识点二、充要条件 问题3、请写出下列“若p，则q”形式的命题的逆命题，并指出哪些命题与它的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若c<0，则c=2． 问题4、根据问题3中命题(1)和其逆命题的真假，你能判断p，q的关系吗？（充要条件） 问题5、根据问题3中命题(2)和其逆命题的真假，你能判断p，q的关系吗？（ ） 问题6、根据问题3中命题(2)和其逆命题的真假，你能判断p，q的关系吗？（ ） 问题7、根据问题3中命题(2)和其逆命题的真假，你能判断p，q的关系吗？（ ） ( 知识梳理 四种充分、必要条件 (1) 若 p ⇔ q ， 则 p 既是 q 的充分条件 ， 也是 q 的必要条件 ， 我们说 p 是 q 的充分必要条件 ， 简称为 充要 条件 ． (2) 条件关系判定的常用结论 ： 条件 p 与结论 q 的关系 结论 ( p 是 q 的) p ⇒ q ， 且 q ⇏ p 充分不必要条件 q ⇒ p ， 且 p ⇏ q 必要不充分条件 p ⇒ q ， 且 q ⇒ p 充要条件 p ⇏ q ， 且 q ⇏ p 既不充分也不必要条件 注意点 ： ( 1 )充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论； ③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件 ． (2)充要条件的等价说法： p 是 q 的充要条件又常说成 q 成立当且仅当 p 成立 ， 或 p 与 q 等价 ． ) 例1、指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． ( 反思感悟　 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法： 直接判断 “ 若 p ，则 q ” 以及 “ 若 q ，则 p ” 的真假． (2)集合法： 即利用集合的包含关系判断． (3)等价法： 即利用 p ⇔ q 与 q ⇔ p 的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法： 充分条件和必要条件具有传递性，即由 p 1 ⇒ p 2 ⇒ … ⇒ p n ，可得 p 1 ⇒ p n ；充要条件也有传递性． ) 跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 知识点三、充要条件的证明 例2　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. ( 反思感悟　 充要条件证明的两个思路 (1)直接法： 首先要明确 p 是条件， q 是结论；其次推证 p ⇒ q 是证明充分性，推证 q ⇒ p 是证明必要性． (2)集合思想： 记 p ： A ＝{ x | p ( x )}， q ： B ＝{ x | q ( x )}，若 A ＝ B ，则 p 与 q 互为充要条件． ) 跟踪训练2　证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD． 三、充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 例