第6讲、1.4.1充分条件与必要条件 讲义-2023-2024学年高一上学期初高中数学衔接

1.4充分条件与必要条件 第6讲、1.4.1充分条件与必要条件 知识点一、命题和命题的形式 问题1、下列陈述语句分别用哪些语言表述，它们能否中能否判断真假？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2－４x＋３＝０，则x＝l； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b； (5)蔡徐坤很会打篮球； (6)天空的星星不说话． 问题2、问题1中的命题都有什么样的相同形式？ ( 知识梳理 命题： 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 命题的真假： 判断为真的语句是 真命题 ，判断为假的语句是 假命题 ． 命题的形式： 命题 一般 可以写成“若 p ， 则 q ”“ 如果 p ， 那么 q ” 等形式．其中 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论． ) 知识点二、充分条件与必要条件 例1、请判断下列命题的真假，并将它们化成“若p，则q”的形式吗，指出其条件p和结论q． (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 【跟踪训练】请将下列命题化成“若p，则q”的形式吗？指出其条件p和结论q． (1)平行四边形的两组对边分别相等； (2)平行四边形的一组对边平行且相等； (3)平行四边形的两条对角线互相平分． 问题3、上述命题中的真假是什么？这种类似的性质反映什么数学知识？ 问题4、我们说q是p的必要条件，是指由条件p可以推出结论q，结合例1你认为能推出结论q的条件p唯一吗？这反映什么的数学知识？ 问题5、我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，结合【跟踪训练】你认为能推出条件p只能推出结论q吗？这反映什么的数学知识？ ( 知识梳理 充分条件与必要条件 “ 若 p ，则 q ” 为真命题 “ 若 p ，则 q ” 为假命题 推出关系 p ⇒ q p ⇏ q 条件关系 p 是 q 的 充分 条件 q 是 p 的 必要 条件 p 不是 q 的 充分 条件 q 不是 p 的 必要 条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 必要条件 注意点 ： (1)前提 p ⇒ q ，有方向，条件在前，结论在后． (2)若 p ⇒ q ，则 “ p 是 q 的充分条件 ” 或 “ q 是 p 的必要条件 ” ，或 “ q 的充分条件是 p ” 或 “ p 的必要条件是 q ” . (3)充分、必要条件不唯一． ) 例2、下列 “若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （１）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （２）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （３）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ( 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法． )（４）若x２＝１，则x＝1； （５）若a＝b，则ac＝bc； （６）若x,y为无理数，则xy为无理数 【跟踪训练】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 例3、下列 “若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？ （１）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （２）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （３）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （４）若x＝1，则x２＝１； （５）若ac＝bc，则a＝b； （６）若xy为无理数，则x,y为无理数 【跟踪训练】指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. ( 反思感悟　 充分、必要条件的判断方法 (1) 定义法： 把 p ， q 转化成命题，判断其真假； (2) 集合法： 也可利用集合的关系判断，如果 条件甲 “ x ∈ A ” ， 条件乙 “ x ∈ B ”． 若 A ⊆ B ，则甲是乙的 充分 条件 ， 同时 乙是甲的必要条件． ) 知识点三、充分条件与必要条件的应用 例4、已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 【延伸探究】已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． ( 反思感悟　 充分条件与必