第3讲、二次函数 讲义-2023-2024学年高一上学期初高中数学衔接

第3讲、二次函数 二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值。 我们将在这个基础上继续学习二次函数图像性质的应用以及当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题。 一、二次函数 1、定义：形如的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。 注：高中阶段常用来替代，即二次函数可写作。 2、二次函数的解析式的三种形式： （1）一般式： ; （2）顶点式： ，其中顶点为 ; （3）零点式： ，其中，是的两根。 本讲主要解决求二次函数的解析式问题。 【典例】：待定系数法求二次函数解析式 例1.1、二次函数f(x)满足：，并且它的图象在x轴截得的线段长等于4，求的解析式。 例1.2、二次函数f(x)满足：f(1)=f(-5)，且图象过点（0，1），被x轴截得的线段长等于。 求f(x)的解析式。 例3 二次函数f(x)满足：f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。 （1）求f(x)的解析式； （2）当-1≤x≤1时，y=f(x)的图象总是在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围。 【反馈练习】 1、若二次函数f(x)的图象过点（3，4），（1，0），（-2，0），则f(x)=______________. 2、若二次函数f(x)的图象过点（1，1），并且，则f(x)=______________. 3、若二次函数f(x)满足f(2)= －1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，则f(x)=_______________. 二、图像与性质（）： 1、图像与系数间的关系 （1）抛物线对称轴和顶点坐标： ①对称轴: ；②顶点坐标： . 【思考】：顶点坐标的求法： 、 、 ；. （2）决定抛物线的开口方向： ①开口向 ；②开口向 . （3）决定抛物线对称轴的位置（）： ①同号，则对称轴在轴 ；②异号，则对称轴在轴 ；③，则对称轴为 . 简记：左同右异中为0. （4）决定抛物线与轴交点的位置： ①，则交点 ；②，则交点 ；③，则交点 . 2、抛物线与轴交点个数的判定（）： ①，与轴有 个交点；②，与轴 交点；③，则与轴有 个交点. 3、增减性及最值 ①时，在对称轴左侧时，随增大而 ，（在这个区间，我们叫函数为减函数）；在对称轴右侧时，随增大而 ，（在这个区间，我们叫函数为增函数）；此时函数有最小值为： ②在对称轴左侧时，随增大而 ，（在这个区间，我们叫函数为 ）；在对称轴右侧时，随增大而 ，（在这个区间，我们叫函数为 ）；此时函数有最大值为： 例2.1、请相对标准的在平面直角坐标系中作出下列二次函数图像,并写出其与交点的坐标. （1） （2） （3） 小结：画二次函数图像方法： （1）确定开口方向：①开口向上；②开口向下. （2）计算对称轴：； （3）计算与轴交点的坐标： 轴，令解方程即可； 轴，求即可； （4）根据对称性作图. 例2.2、（1）函数在区间[1,2]上单调递增，则的取值范围是（ ） （2）函数在区间[1,2]上单调递减，则的取值范围是（ ） （3）函数在区间[1,2]上单调，则的取值范围是（ ） 【变式】、已知函数，其中为常数，若函数在时单调递减，求实数的取值范围 三、一元二次函数在区间[m,n]上的最值。 1、当时，如右图：x m n 在区间[m,n]单调递 ， 则 ； . 2、当时， 如右图： x m n 在区间[m,n]单调递 ， 则 ； . 3、当时 在区间[m,]单调递 ，在区间[,n]单调递 ， = ， 最大值需做如下讨论：x m n （1）当 如右图： ； （2）当时， 如右图： ；x m n 例3.1、已知，画出的大致图像，写出其在下列区间上的增减性，并求出其最值。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）；