5.5.2简单的三角恒等变换（第1课时）（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 第 5章 三角函数 5.5.2简单的三角恒等变换（第1课时） 目 录 1 学习目标 2 新课讲解 3 课本例题 4 课本练习 5 题型分类讲解 6 随堂检测 7 课后作业 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点) 情境导入 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符. 任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 提示　 是α的半角，α是2α的半角. 想一想 【探究】为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？ 【提示】　能，结果是sin α＝2sin cos ；cos α＝2－1＝1－2＝－；tan α＝. 提出问题 学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ． 例7.试以表示 (提示：与有什么关系？) 解：是的二倍角.在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴① 在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴② ∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得： 例7的结果还可以表示为： 并称之为半角公式，符号由所在象限决定. 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点. 例8.求证： (1) 证明：(1)因为 将以上两式的左右两边分别相加，得： 即 思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 例8.求证： (2) 证明(证法一)：(2)由(1)可得 ① 设那么 把的值代入①，即得 . 思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？ 例8.求证： (2) 证法二：∵ ∴ 例8.求证： (1) 积化和差 (2) 和差化积 例8的证明用到了换元的方法.如把看作看作从而把包含的三角函数式转化成的三角函数式.或者，把看作看作把等式看作的方程，则原问题转化为解方程(组)求它们都体现了化归思想. 课本练习 4.求证: 4.求证: 4.求证: 证明： 5.求证: 5.求证: 将它们代入①可得： 证明： ① 换元思想 随堂检测 和角公式 差角公式 二倍角公式 三倍角公式 半角公式 万能公式 积化和差公式 和差化积公式 化一公式 公式之间的关系 需要掌握的公式： 和角公式（3个）+差角公式（3个）+二倍角公式（5个）=11个 课堂小结 1.求证： . 证明： 2.已知 试求 和 的值. 3.已知等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形的一个底角的正切． 解：设等腰三角形的顶角为 ，则 ，底角为 ， 【答案】　C 1．若cos α＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则cos eq \f(α,2)的值为(　　) A．eq \f(\r(6),6)　　　　　 B．－eq \f(\r(6),6) C．eq \f(\r(30),6) D．－eq \f(\r(30),6) 【解析】　由题意知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos eq \f(α,2)>0， cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2))＝eq \f(\r(30),6). 【答案】　A 2．已知cos α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于(　　) A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5) 【解析】　由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin e