第13章轴对称 专题提升五探索等腰三角形存在性问题2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题提升五 探索等腰三角形存在性问题 例题选讲 例 如图，线段OD，O为坐标原点，D（2，2），OD＝2，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个？并求出P的坐标． 注意点：用分类讨论的思想去解决的问题经常遇见，主要是由于几何图形性质不明确而需分类讨论和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论． 课后练习 1． 如图，在直角坐标系中，点A（-2，2）、B（0，1），点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 2． 如图，坐标平面内一点A（2，-1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 3． 如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=4，点E是折线段A—D—C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点. 在点E运动的过程中，能使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，直角三角板含30°角的顶点P在边BC上移动（点P不与B、C重合），一直角边始终经过点A，斜边与腰AC交于点D，若△APB为等腰三角形，则∠PAB的度数＝ ． 5． 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8，动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止． 在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有 个． 6． 如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形． 7． 已知∠BAD＝90°，AB＝AD，找一点C，使得DC＝AB，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则∠BCD的度数为 ． 8． 如图，在正方形ABCD中，边AD绕点A顺时针旋转角度m（0°<m<360°），得到线段AP，连接PB，PC. 当△BPC是等腰三角形，m的值为 ． 9． 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角形的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，2，3是旋转得到的三种图形． （1）观察图1，2，3中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图2为例，加以说明； （2）△PBE是否能构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由． 10. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为边作等边△OCD，连接AD. （1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 参考答案 【例题选讲】 例 分析：先作图，后求解. 1 OD＝OP时 ②PO＝PD时 ③DO＝DP时 解：4，P1（－2，0），P2（2，0），P3（2，0），P4（4，0）. 【课后练习】 1—3. DCC 4. 30°或75° 5. 4 6. 或10 7. 45°或135°或90° 8. 30°或150°或60°或300° 9. （1）PD＝PE，连CP，则CP⊥AB，CP平分∠ACB，∴∠BPC＝90°，∠PCD＝∠PCB＝∠B＝45°，∴PC＝PB，又∠DPE＝90°，易证△PCD≌△PBE（ASA），∴PD＝PE. （2）能. 当点E在CB上时． ①若PE＝PB，则∠PEB＝∠B＝45°，此时，∠BPE＝90°. 点D与点A重合，点E与点C重合；②若PE＝BE，则∠EPB＝∠B＝45°，∠PEB＝90°；③若BE＝BP，则∠PEB＝∠BPE＝（180°－∠B）＝67.5°. 当点E在CB延长线上时，∠PBE＝135°，只有PB＝BE，∠PEB＝22.5°. 10. （1）当α＝150°时，△AOD是直角三角形． 理由如下：由题意可得△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°. 又∵△COD为等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形； （2）∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∠OAD＝180°－（∠AOD＋∠ADO）＝180°－（190°－α＋α－60°）＝50°. ①若AO＝AD，即∠AOD＝∠ADO，∴190°－α＝α－60°，