第12章全等三角形 专题提升（3）证明题中辅助线的添加技巧2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题提升三 证明题中辅助线的添加技巧 例题选讲 类型一 添加辅助线构造全等三角形 例1 在△ABC中，AD是中线，已知AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围． 注意点：加倍延长中线，构造三角形全等. 类型二 截长法与补短法构造全等三角形 例2 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD. 注意点：“遇到和差要延截”这是解决和差问题最常用的方法，要根据题意选择最合适的辅助线添加方法，使问题得到解决． 类型三 借助角平分线构造全等 例3 如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE=OD. 注意点：利用“截取法”，以及角平分线所平分的两个角相等，构造全等三角形，从而解决问题. 课后练习 1. 如图，已知AC=AB，CD=BD，求证：∠ACD=∠ABD. 2． 如图，已知AB＞AD，∠BAC＝∠DAC，CD＝BC. 求证：∠ADC＋∠B＝180°. 3． 已知E是正方形ABCD边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE. 求证：AF＝AD＋CF. 4. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长线于E. 求证：BD＝2CE. 5． 如图，AB=AE，AC=AD，AB⊥AE，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM. 6． 在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB＝ OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题： 如图2，在非等边△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，且AD，CE交于点F，求证：AC＝AE＋CD. 参考答案 【例题选讲】 例1 解：如图，延长AD到E使DE＝AD. 连接CE. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在△ABD与△ECD中，AD＝ED，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD， ∴△ABD≌△ECD（SAS）． ∴CE＝AB＝5，∵AC＝3，∴5－3＜AE＜5＋3即2＜AE＜8，∴1＜AD＜4. 例2 分析：此题中涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用角平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段上截取一部分使之等于短的线段．但无论延长还是截取，都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的． 证明：略． （在此题中可在长线段BC上截取BF＝AB，再证明CF＝CD，从而达到证明的目的． 这里面用到了角平分线来构造全等三角形． 另外一个全等自己证明，只要证明∠DEC＝∠FEC即可． 此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明）. 例3 分析：利用角平分线构造全等三角形. 证明：∠B=60°，则∠BAC+∠BCA=120°；AD和CE均为角平分线，则∠OAC+∠OCA=60°=∠AOE=∠COD，在AC上截取AF=AE，连接OF. ∵AF=AE，∠FAO=∠EAO，AO=AO. ∴△FAO≌△EAO（SAS），∴OF=OE，∠FOA=∠AOE=60°. 故∠COF=∠AOC-∠AOF=60°. ∴∠COF=∠COD，又CO=CO，∠OCF=∠OCD. ∴△FOC≌△DOC（ASA），OF=OD. ∴OE=OD. 【课后练习】 1. 证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，AC=AB，CD=BD，AD=AD，∴△ACD ≌△ABD（SSS），∴∠ACD=∠ABD. 2. 证明：过点C作CE⊥AB，交AB于E，过点C作CF⊥AF，交AD的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF. ∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL）． ∴∠B＝∠CDF. ∴∠B＋∠ADC＝180°. 3. 证明：过点E作EG⊥AF，连接EF，由AAS得△ADE≌△AGE. ∴AD＝AG，GE＝DE. ∵DE＝CE，∴GE＝CE. ∴△EGF≌△ECF（HL）． ∴CF＝GF. ∴AF＝AG＋GF＝AD＋CF. 4. 分别延长BA、CE交于点F. ∵BE⊥CF（已知），∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）． 在△BEF与△BEC中， ∠1＝∠2（已知），BE＝BE（公共边），∠BEF＝∠BEC（已证），∴△BEF≌△BEC（ASA）． ∴CE＝EF＝CF（全等三角形对应边相等）． ∵∠BAC＝90°，BE⊥CF（已知），∴∠B