第11章三角形 专题提升（1）2023-2024学年 人教版数学八年级上册

专题提升一 与三角形的高、中线有关的面积问题 例题选讲 三角形的高及中线是三角形的重要线段，它们在解决面积问题时常常发挥重要作用． 类型一 利用面积求解 例1 如图在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6. （1）求△ABC的面积； （2）求BE的长． 注意点：三角形的面积公式中的面积，底及高，三个元素中知道其中2个就可以求出另一个． 类型二 利用中线求解 例2 在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为1. 试求△BEF的面积． 注意点：求三角形的面积除了用公式直接求外，还可以利用中线来解决，本例提供了利用中线求面积的方法． 课后练习 1． 如图，△ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ACD，则AD为（ ） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 不能确定 2. △ABC中，∠A=40°，高BD和CE交于O，则∠COD为（ ） A. 40°或140° B. 50°或130° C. 40° D. 50° 3． 如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积是 . 4． 如图，把面积为1的等边△ABC的三边分别向外延长m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面积是 （用含m的式子表示）． 5． 如图：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm. （1）求AD的长； （2）求△AEC的面积． 6． 如图，在△ABC中，M是AB边的中点，N是AC上一点，且AN＝3NC，CM与BN交于K，若S△KBC＝2，求S△ABC. 7． 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AC上一点，且EC＝2AE，AD与BE交于O，若S△ABC＝1，求S△ABO，S△AEO，S△DBO，S四边形DOEC. 8． 如图，正方形ABCD的面积为25，G为正方形ABCD的边CD上任意一点，O为对角线AC与BD的交点，四边形CEFG为正方形． 求△BOF的面积． 9． 如图，△ABC中，D，E，F，G分别是BC，AC，DC，EC的中点，已知△ABC的面积为1，求△FGC的面积． 10． 请你尽可能多地设计方案，将△ABC的面积4等分． 11． （黄冈中考）如图，△ABC的边AB＝3，AC＝2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB，AC，BC为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是多少？ 参考答案 【例题选讲】 例1 分析：（1）由三角形的面积公式S＝BC·AD直接求解． （2）由三角形的面积公式S＝AC·BE结合（1）的结果求解． 解：（1）∵BC＝12，AD＝6，∴S△ABC＝BC·AD＝×12×6＝36. （2）∵S△ABC＝AC·BE＝36. ∴×8×BE＝36，∴BE＝9. 例2 分析：由于D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，可以判断AD，BE，CE，BF为△ABC，△ABD，△ACD，△BEC的中线，根据中线的性质可以知道相应的三角形分成的两部分面积． 解：∵D是BC中点，所以S△ABD＝S△ADC，同理S△ABE＝S△DBE＝ S△AEC＝S△DEC＝S△ABC，∴S△BEC＝S△ABC＝，又∵F是EC的中点，∴S△BEF＝vS△BEC＝. 【课后练习】 1—2. BC 3. 7 4. 3m2＋3m＋1 5. （1）4.8cm （2）12cm2 6. 10 7. 连接OC，设S△AOE＝x，则S△COE＝2x，S△DOC＝S△DOB＝－3x，S△AOB ＝3x，所以S△ABE＝3x＋x＝，x＝，所以：S△ABO＝，S△AOE＝，S△DBO＝，S四边形DOEC＝. 8. 9. 10. 不唯一，符合条件即可. 11. 把△CFH绕点C顺时针转90°，使CF与BC重合． 点H转到H′位置，可知点A，C，H′在同一直线上，且BC为△ABH′的中线． ∴S△CHF＝S△BCH′＝S△ABC，同理S△BDG＝S△AEM＝ S△ABC. ∴阴影面积之和为S△ABC的3倍，又AB＝3，AC＝2，当AB⊥AC时，即AB为底，AC为高时，S△ABC最大，最大值为×2×3＝3.∴阴影面积之和最大为9. 学科网（北京）股份有限公司 $$