3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时2023-2024学年北师大版九年级下册数学

第三章　圆 4　圆周角和圆心角的关系　第1课时 单击此处编辑母版文本样式 1.知道圆周角的概念，会证明圆周角定理. 2.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，同时体会分类、归纳等数学思想方法. 3.知道圆周角定理的第一个推论并会利用其解决相关问题. ◎重点:圆周角定理及推论1. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 复习导入 “歌剧院中的座椅” 有3名观众，他们都坐在歌剧院的第二层，正对舞台的观众对坐在他左右两边的观众说:“我的座位最好了，因为我的视角是最大的！”另两位观众说:“不对，我们的视角是一样的.”他们谁的说法对呢？ 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 圆周角的概念  阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题. 圆周角的两个特征:(1)　角的顶点在圆上　；(2)　两边在圆内的部分是圆的两条弦　.  角的顶点在圆上　 两边在 圆内的部分是圆的两条弦　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 圆周角定理及其推论  1.同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.在　同圆或等圆　中，同弧或等弧所对的　圆周角　相等.  同圆或等圆　 圆周角　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 ·导学建议· 在知识点二圆周角定理的得出和证明中，先把学生所画出的图形全部展示，再引导学生观察其中的特殊情况，圆心在圆周角的一条边上，先验证它，然后再将另外两类情况向它转化. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，☉O的半径为1，P是☉O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于(　B　) A.30° B.45° C.60° D.90° B 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.如图，AB、CD是☉O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD＝70°，则∠BCD的度数为(　D　) A.40° B.50° C.60° D.70° D 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 如图，已知圆心角∠AOB＝100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:设优弧ADB所对的圆心角为∠1，∵∠AOB＝100°，∴∠D＝∠AOB＝50°，∠1＝360°－∠AOB＝260°， ∴∠ACB＝∠1＝130°， 因此∠ACB、∠ADB的度数分别为130°、50°. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，点A、B、C都在圆O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，且OA＝AB，求∠ABC的度数. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:∵OA＝OB，OA＝AB， ∴OA＝OB＝AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°. ∵OC⊥OB， ∴∠COB＝90°， ∴∠COA＝90°－60°＝30°， ∴∠ABC＝15°. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，AB、CD是☉O的弦，AB⊥CD. (1)若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数； 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (2)若∠ADC＝α，求∠AOC＋∠BOD. 解:(1)∵AB⊥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝90°－20°＝70°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝2×70°＝140°. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵∠BAD＋∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝90°－α， ∴∠BOD＝2∠BAD＝2(90°－α)＝180°－2α. ∵∠AOC＝2∠ADC＝2α， ∴∠AOC＋∠BOD＝2α＋180°－2α＝180°. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　运用圆周角定理需注意的是在圆中，一条弦(非直径)所对的圆周角应该有两种情况，不要漏解. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的☉O交AB、AC于D、E.求证:△ODE是等边三角形. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 证明:∵△BAC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵OD＝OB＝OE＝OC， ∴△OBD和△OEC都是等边三角形.∴∠BOD＝∠COE＝60°.∴∠DOE＝60°. ∴△ODE是等边三角形. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，在边长为1的小正方形网格中，☉O的圆心在格点上，求cos∠AED. 解:∵＝，∴∠AED＝∠ABC. 在Rt△ABC中，AC＝1，AB＝2， 由勾股定理得BC＝， ∴cos∠AED＝cos∠ABC＝＝. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 　如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，且∠AOB＝2∠BOC. 求证:∠ACB＝2∠BAC. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 证明:∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC， 又∵∠AOB＝2