3.3 垂径定理2023-2024学年北师大版九年级下册数学

第三章　圆 3　*垂径定理 单击此处编辑母版文本样式 1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决相应问题. 2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题. ◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 　　你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？学了本节课，你就能很容易地解决这个问题了. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理  阅读教材本课时“想一想”前面的内容，并回答下列问题. 1.垂直于弦的　直径　平分　这条弦　，并且平分　弦所对的弧　.  2.在垂径定理中要注意什么问题呢？ (1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧. 直径　 这条弦　 弦所对 的弧　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理的逆定理  阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题. 平分弦(不是直径)的直径　垂直于弦　，并且　平分　弦所对的弧.  ·导学建议· 可进行拓展教学，根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论: 1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦　 平分　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 3.圆的两条平行弦所夹的弧相等. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则半径OB的长为(　C　) A.3 B.4 C.5 D.10 C 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则OM＝　5　.  5　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是(　B　) B A.OE＝BE B.＝ C.△BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:1.连接AB；2.作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 ☉O的半径为10 cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm，则AB和CD的距离为(　C　) A.2 cm B.14 cm C.2 cm或14 cm D.10 cm或20 cm C 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，AB是☉O的弦(非直径)，C、D是AB上两点，并且AC＝BD.试判断OC与OD的数量关系并说明理由. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE， 又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，那么管道的半径是多少？ 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:如图，OE⊥AB交AB于点D， 则DE＝4，AB＝16，AD＝8， 设半径为R，∴OD＝OE－DE＝R－4， 由勾股定理得OA2＝AD2＋OD2， 即R2＝82＋(R－4)2， 解得R＝10 cm. ∴管道的半径是10 cm. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　在解决垂径定理应用这类问题时，要抓住弦长、半径、圆心到弦的距离构造直角三角形，然后利用勾股定理列出方程来解决. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，这是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆的半径OA等于(　D　) D A.5米 B.7米 C.米 D.米 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 $$