能力微专训3——二次函数的性质及应用2023-2024学年北师大版九年级下册数学

第二章　二次函数 能力微专训3——二次函数的性质及应用 单击此处编辑母版文本样式 二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是中考热点之一.学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要的意义. 专训导读 单击此处编辑母版文本样式 二次函数中系数的意义 【例1】如图，观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，填空:①　a　＞0；②b　＜　0；③c　＜　0；④b2－4ac　＞　0；⑤2a＋b　＞　0；⑥a＋b＋c　＜　0；⑦a－b＋c　＞　0.  a　 ＜　 ＜　 ＞　 ＞　 ＜　 ＞　 单击此处编辑母版文本样式 【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论:①4a＋2b＋c＞0；②abc＞0；③b＜a＋c；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1).其中正确的结论是　①④⑤　.  ①④ ⑤　 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　(1)系数a是由图象的开口方向决定的:开口向上，a＞0；开口向下，a＜0. (2)系数b的符号是由对称轴的位置确定的:对称轴在y轴的右侧，a与b的符号相异；对称轴在y轴的左侧，a与b的符号相同，简言之“左同右异”. 单击此处编辑母版文本样式 (3)系数c的符号是由抛物线与y轴的交点确定的:交于y轴的正半轴，则c＞0；交于y轴的负半轴，则c＜0；交于原点，则c＝0. (4)b2－4ac的符号是由抛物线与x轴的交点个数决定的:抛物线与x轴有两个交点，b2－4ac＞0；抛物线与x轴有一个交点，b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点，b2－4ac＜0. 单击此处编辑母版文本样式 (5)a＋b＋c与0的关系:也就是看图象中当x＝1时对应的y值与0的关系. (6)a－b＋c与0的关系:也就是看图象中当x＝－1时对应的y值与0的关系. 单击此处编辑母版文本样式 二次函数与利润的最值问题 【例3】某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润不高于90%.市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示. 单击此处编辑母版文本样式 (1)根据图象，直接写出y与x的函数关系式. (2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)y＝－2x＋260. (2)由题意，得(x－50)(－2x＋260)＝3000，解得x＝80或x＝100.∵50≤x≤50×(1＋90%)＝95，∴x＝80，∴销售单价应定为80元. 单击此处编辑母版文本样式 (3)设每天获得的利润为w元，由题意，得w＝(x－50)(－2x＋260)＝－2x2＋360x－13000＝－2(x－90)2＋3200，∵50≤x≤95，∴当x＝90时，w有最大值，w最大值为3200. 答:销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　解答利润问题时，要理清所给题目中的字母表示什么，以及销售单价和销售数量之间的变化关系，正确建立二次函数模型.当实际问题中的自变量有范围限制时，要合理地利用二次函数的增减性求最值. 单击此处编辑母版文本样式 二次函数与面积的最值问题 【例4】如图，在△ABC中，AC＝40，BC＝30，AB＝50.矩形DEFG的边EF在AB上，顶点D、G分别在AC、BC上.设EF＝x. (1)用含x的代数式表示DE的长. (2)当x取何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵AC＝40，BC＝30，AB＝50， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形. 如图，作CH⊥AB于点H，交DG于点T， 单击此处编辑母版文本样式 ∴AB·CH＝AC·BC， ∴50CH＝30×40， ∴CH＝24. ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，TH＝DE， ∴AB·CH＝AC·BC， ∴50CH＝30×40， ∴CH＝24. ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，TH＝DE， ∴△CDG∽△CAB， 单击此处编辑母版文本样式 ∴＝， ∴. ∴DE＝24－x. ∴＝， ∴. ∴DE＝24－x. 单击此处编辑母版文本样式 (2)设矩形的面积为S， S＝x， ＝－x2＋24x， ＝－(x2－50x)， ＝－(x－25)2＋300， 故当x＝25时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为300. 单击此处编辑母版文本样式 【例5】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x＋相交于A(