二次函数存在性问题作业2023-2024学年北师大版九年级下册数学

第二章　二次函数 二次函数　存在性问题作业 单击此处编辑母版文本样式 一、作业目标 1.掌握二次函数各知识点的内在联系，形成整体并能与几何知识综合运用. 2.在掌握基本知识与基本技能的基础上，提升逻辑思维能力及运用数学知识解决问题的能力. 单击此处编辑母版文本样式 二、作业内容 1.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，M是抛物线的顶点. (1)求二次函数的解析式. 单击此处编辑母版文本样式 (2)P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D. ①在线段MB上是否存在这样的点P，使△PCD的面积最大.如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； 单击此处编辑母版文本样式 ②在线段MB上是否存在这样的点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 单击此处编辑母版文本样式 (2)①存在.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点M(1，4). 设直线BM的解析式为y＝kx＋b， 将点B(3，0)，M(1，4)代入， 得 解得 单击此处编辑母版文本样式 ∴直线BM的解析式为y＝－2x＋6， ∴设P(m，－2m＋6)，△PCD的面积为S，则点D的坐标为(m，0)， 即PD＝－2m＋6，OD＝m， ∴S＝PD·OD＝m(－2m＋6)， 即S＝－m2＋3m＝－2＋， 单击此处编辑母版文本样式 ∵点P在线段BM上，且B(3，0)，M(1，4)， ∴1≤m≤3. ∵－1＜0， ∴当m＝时，S最大， －2m＋6＝－2×＋6＝3， ∴P. 单击此处编辑母版文本样式 ②若∠DPC＝90°，如图1，则PC∥x轴， ∴P(m，3)，且在直线y＝－2x＋6上， ∴P(m，3)，且在直线y＝－2x＋6上， 单击此处编辑母版文本样式 ∴－2m＋6＝3， 解得m＝， ∴P； 若∠PCD＝90°，如图2，则PC2＋CD2＝PD2， ∴－2m＋6＝3， ∴m2＋(－2m＋6－3)2＋m2＋32＝(－2m＋6)2， 整理得m2＋6m－9＝0， 单击此处编辑母版文本样式 解得m1＝3－3，m2＝－3－3(不符合题意，舍去)， ∴P(3－3，12－6)； 若∠PDC＝90°，则CD2＋PD2＝PC2， ∴m2＋32＋(－2m＋6)2＝m2＋(－2m＋6－3)2， 整理得12m＝36，解得m＝3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，∴m＝3舍去. 综上所述，点P的坐标为或(3－3，12－6). 单击此处编辑母版文本样式 2.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－2，0)，B(1，0)，交y轴于C(0，2). (1)求二次函数的解析式. (2)连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 (3)若点M在x轴上，是否存在点M，使以B，C，M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－2，0)，B(1，0)，设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)·(x－1)， 把C(0，2)代入得2＝a(0＋2)(0－1)， 解得a＝－1， ∴二次函数的解析式为y＝－(x＋2)(x－1)＝－x2－x＋2. 单击此处编辑母版文本样式 (2)在直线AC上方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大. 如图，过点N作ND∥y轴，交AC于点D. 设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把 A(－2，0)，C(0，2)代入得 单击此处编辑母版文本样式 解得 ∴直线AC的解析式为y＝x＋2. 设N(n，－n2－n＋2)，则D(n，n＋2)， ∴ND＝(－n2－n＋2)－(n＋2)＝－n2－2n， 单击此处编辑母版文本样式 ∴S△NAC＝ND·|xC－xA|＝×(－n2－2n)×2＝－n2－2n＝－(n＋1)2＋1. ∵－1＜0， ∴当n＝－1时，S△NAC有最大值，最大值为1，此时点N的坐标为(－1，2). 单击此处编辑母版文本样式 (3)在x轴上存在点M，使以B，C，M为顶点的三角形是等腰三角形. 设M(t，0)，而B(1，0)，C(0，2)， ∴BM2＝(t－1)2，CM2＝t2＋4，BC2＝12＋22＝5， ①当BC＝CM时，t2＋4＝5， 解得t＝1(与B重合，舍去)或t＝－1， ∴M(－1，0)； 单击此处编辑母版文本样式 ②当BM＝BC时，(t－1)2＝5