2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时2023-2024学年北师大版九年级下册数学

第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程　第1课时 单击此处编辑母版文本样式 1.认识二次函数与一元二次方程之间存在的联系. 2.能根据二次函数图象与x轴交点的个数来判断相应一元二次方程的根的个数. ◎重点:利用二次函数图象与x轴交点的关系来解决问题. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 激趣导入 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示.现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离OC＝2.4 m.当水位上升一定高度到达点F时，这时，涵洞顶点离水面的距离OF＝1.5 m，则涵洞宽ED是多少？ 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 根据已知条件，要求宽ED，只要求出FD的长度.在如图所示的直角坐标系中，只要求出点D的横坐标即可. 由已知条件可得到点D的纵坐标，又因为点D在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标.你会求吗？ 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 二次函数与x轴的交点  阅读教材本课时“想一想”前面的内容，并回答下列问题. 1.抛物线与x轴的交点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的　两个实数根　.  两个实数根　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点⇔　Δ＞0　；  ②有一个交点(顶点在x轴上)⇔　Δ＝0　；  ③没有交点⇔　Δ＜0　.  Δ＞0　 Δ＝0　 Δ＜0　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 二次函数与一元二次方程的关系  利用数形结合，借助于图象来研究一元二次方程的解，进而分析与解决实际问题的解.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的y取不同值，则对应了不同的一元二次方程. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 ·导学建议· “用函数观点看一元二次方程”是利用图象来研究一元二次方程，其关键是数形结合，令y取不同的值，可在图象中画平行于x轴的直线，在教学中注意将所学知识化归与转化到原有的知识结构之中. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是(　A　) A.m＞9 B.m≥9 C.m＜－9 D.m≤－9 A 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为　－1或4　.  －1或4　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围为　k≥－且k≠0　.  k≥－且k≠0　 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 　已知抛物线y＝x2－(k＋1)x＋k.试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点. 解:Δ＝(k＋1)2－4k＝(k－1)2＝0，k＝1. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 特殊代数式求值，其中ax2＋bx＋c＝0. 看图填空:(1)a＋b＋c　＜　0；(2)a－b＋c　＞　0；(3)2a－b　＜　0.  ＜　 ＞　 ＜　 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 已知二次函数y＝x2－2x－3. (1)求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (2)根据图象直接回答:当y＜0时，x的取值范围是 ；当y＞－3时，x的取值范围是 .  合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－4). 当x＝0时，y＝x2－2x－3＝－3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－3)， 当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0). 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (2)－1＜x＜3； x＜0或x＞2. 如图. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 已知二次函数y＝－x2＋(m－2)x＋m＋1. (1)试说明:不论m取何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点. (2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ (3)m为何值时，这个二次函数图象的对称轴是y轴？ 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)Δ＝(m－2)2－4×(－1)×(m＋1)＝m2＋8，由m2≥0，得m2＋8＞0，所以Δ＞0，即不论m取何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点. (2)由x1＋x2＝m－2＜0，得m＜2；由x1·x2＝－m－1＞0，得m＜－1；又由(1)，Δ＞0，因此，当m＜－1时，两个交点都在原点的左侧. (3)由x1＋x2＝m－2＝0，得m＝2，因此，当m＝2时，此二次函数的图象的对称轴是y轴. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 1.抛物线y＝－x2