2.4 二次函数的应用 第1课时2023-2024学年北师大版九年级下册数学

第二章　二次函数 4　二次函数的应用　第1课时 单击此处编辑母版文本样式 1.从矩形和窗户透光的最大面积问题看二次函数，体会数学的模型思想和数学应用价值. 2.学会分析和表示不同实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题. ◎重点:应用二次函数解决与图形有关的最值问题. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 　　某农家乐为了吸引顾客，准备在其大院中修建一个圆形的喷水池，并在其中央安装一个高为1.2 m的喷头向外喷水，已知水流喷出的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间满足y＝－x2＋2x＋1.2的关系式. (1)试求喷出的水流距离水平面的最大高度是多少. (2)在忽略其他因素的条件下，为使水不溅落到水池之外，则修建的水池半径至少要达到多少米. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 三角形内的最大矩形问题  几何图形中的有关面积最大值的问题，关键是根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 复杂几何图形的面积最值问题  在实际问题中求二次函数的最值(最大或最小值)时，必须结合自变量的取值范围来综合考虑，如果所求函数的顶点不在自变量的取值范围内，则不能直接利用配方或顶 点的纵坐标公式计算函数的最值，应结合图形分析求解最值. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 ·导学建议· 要通过问题设计引导学生分析实际问题，并且在分析中教学生分析的方法. 如图形的面积表示，有时直接运用图形的面积公式表示，有时需要间接表示，即通过相关图形面积的加减转化. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 　用长8 m的铝合金制成如图所示的矩形框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是(　C　) C A. m2 B. m2 C. m2 D.4 m2 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝6 cm，高AD＝4 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGHF的面积最大，EG的长应为　2　cm.  2　 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2 m，门PQ和RS的宽都是1 m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？ 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:设鸡舍宽x m，长y m，4x－2＋2y－2＝116，即2x＋y＝60，y＝60－2x，S＝xy＝(60－2x)x＝60x－2x2，根据抛物线顶点坐标式得出x＝15，y＝60－2x＝30，S＝450 m2. 答:鸡舍长30米，宽15米时，最大面积为450平方米. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 把3根长度均为100 cm的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？ 解:圆的面积最大，正方形其次，长方形最小. 圆:C＝2πr，所以r＝ cm， 面积S＝πr2＝≈796.2 cm2. 正方形:C＝4a，边长a＝25 cm， 面积S＝a2＝625 cm2. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 长方形:设长为x cm，则宽为(50－x)cm，设矩形的面积为y cm2，y＝x(50－x)，y＝－x2＋50x，所以当x＝25时，y最大，而此时矩形的长和宽相等，即为正方形. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标. (2)求这条抛物线的解析式. (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)M(12，0)，P(6，6). (2)设该抛物线解析式为y＝a(x－6)2＋6， ∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)，∴0＝a(0－6)2＋6，即a＝－， ∴该抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C，D， ∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝＋(12－2m)＋＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15. ∵此二次函数的图象开口向下，∴当m＝3米时，AD＋DC＋CB有最大值为15米. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　求解有关呈抛物线形状实物的问题时，关键是要将实际问题转化为数学问题，恰当地建立直角坐标系，并将已知的线段长或有