专题7.2 三角函数的概念（十个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题7.2三角函数概念 知识点一 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点二 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 知识点三 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 重难点1利用定义求三角函数值 【例1】已知：角的终边过点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】求角的正弦、余弦和正切值． 求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 【变式1-1】已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数（，且）的图像恒过点，若点是角终边上的一点，则 . 【变式1-3】已知角的终边落在直线上，求的值． 重难点2根据三角函数值求参数 【例3】若角终点上一点，且，则（    ） A． B． C．4 D． 【例4】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果点P在角的终边上，且，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知角的终边上一点，且，则 . 【变式2-3】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上．若，则 ． 重难点3象限的符号问题 【例5】已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6】“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 判断三角函数值正负的2个步骤 （1）定象限：确定角所在的象限； （2）定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 【变式3-1】确定下列三角函数的符号： (1) (2) (3) (4) 【变式3-2】已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 【变式3-3】写出一个同时满足下列两个条件的角 .（用弧度制表示） ①，②. 重难点4正（余）弦、正切的知一求二 【例7】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例8】（多选）若，则的值可以取（    ） A． B． C． D． （1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； （2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 【变式4-1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-3】已知，，且为第二象限角，则 . 重难点5正余弦齐次式的运算 【例9】若角终边经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【例10】已知