4.3.1 等比数列的概念（八大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

4.3.1等比数列的概念 1.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题. 2.会判断和证明一个数列是等比数列. 3.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题. 4.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用. 一、等比数列的概念与通项公式 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,. 3.等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为. （2）第项与第项的关系为,变形得. （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 二、等比数列的常用性质 （1）如果,则有. （2）如果,则有. （3）若成等差数列,则成等比数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递增数列; ②当或时,等比数列为递减数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 考点01 等比数列的判断 1．在数列中，是以3为公比的等比数列，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等差数列 D．若是等比数列，则是等比数列 4．（多选）已知数列都是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 考点02 等比数列基本量运算 7．已知数列是等比数列，且，，则（    ） A．3 B．6 C．3或 D．6或 8．在正项等比数列中，，则的公比为（    ） A．或3 B．3 C．2或 D．2 9．正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 10．已知等比数列满足，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．15 11．已知等比数列满足，，则的值不可能是（    ） A． B． C．1 D．2 考点03 等比中项及应用 12．在正项等比数列中，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 13．已知各项均为正数的等比数列，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 14．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在正项等比数列中，是方程的两根，则 16．已知为等比数列且各项均不为0，向量，且，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 17．若数列a，27，，b，为等比数列，则 ． 考点04 等比数列中的对称设元 18．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为 . 19．在和3之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 . 20．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是 . 22．设四个实数成等比数列，其积为，中间两项之和为，试求公比q的值. 考点05 等比数列的性质 23．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 24．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 25．已知等比数列中，，，则公比（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 26．（多选）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D