精品解析：上海市宝山区2024届高三上学期期末教学质量监测（一模）数学试题

2023学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 函数的定义域是 . 2 已知向量，，若，则实数________ 3. 已知等差数列的前项和为，若则________ 4. 设，则方程的解集为________ 5. 在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第百分位数是________ 6. 设为常数，若，则函数的图象必定不经过第________象限 7. 设函数，若，则实数的值为_____． 8. 若对于任意实数，都有，则的值为______； 9. 如图，在圆锥中，为底面圆直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为________ 10. 随着我国国民教育水平的提高，越来越多的有志青年报考研究生.现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（分）的考生中，按总分进行排序，择优录取.振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为，则自然数数组________时，振华被录取的可能性最大. 科目 周数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思政 20 40 55 65 72 78 80 82 83 84 85 外语 30 45 53 58 62 65 68 70 72 74 75 专业课 50 70 85 90 93 95 96 96 96 96 96 11. 已知函数，正项等比数列满足，则_________ 12. 设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 13. “”是“”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 下列说法中错误的是（ ） A. 一组数据的平均数、中位数可能相同 B. 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多 C. 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量 D. 极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量 15. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 16. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和大于”，求； （2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； （3）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”.验证、是独立的． 18. 在中，角的对边分别为. （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值. 19. 如图，在直三棱柱中，，，且分别是中点. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 20. 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 21. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）