精品解析：黑龙江省双鸭山市第三十一中学2024届高三上学期期中数学试题

双鸭山市第一中学2023—2024学年度高三（上）学期数学第二次月考试题本试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则 A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数则实数a值为( ) A. B. 0 C. 1 D. －1 3. 已知角的终边过点，若，则实数m的值为（ ） A. B. 4 C. 或3 D. 或4 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 5. 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A 30 B. 60 C. D. 7. 已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的初相是 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 是函数图象的对称中心 D. 函数的图象向左平移个单位后关于轴对称 10. 如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 点到平面的距离为 C. 若分别为线段的中点，则平面 D. 线段长度的最小值为 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如下图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（     ） A. B. 1225是三角形数，不是正方形数 C D. ，总存在，使得成立 12. （多选）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（　　） A. 若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则F1M＝a B. 若双曲线C的方程为1，则△PF1Q的面积为24 C. 存在离心率为的双曲线满足条件 D. 若3PF2＝QF2，则双曲线C的离心率为 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______. 14. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________. 15. 已知，且，则____________． 16. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______． 四、解答题（本题共6个小题，共70分，17题10分，其他每题12分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…第五组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数； （2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）． 18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值. 19. 如图，已知四棱锥底面是菱形，平面平面，，为的中点，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，且与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值. 20. 数列满足 , . （1）求的值； （2）求数列通项公式； （3）设，，求数列的前项和. 21. 设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和