5.3.1 函数的单调性第2课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版 选择性必修第二册第五章 5.3.1 函数的单调性 (第2课时) 1 知识框架 背景 平均速度 瞬时速度 割线斜率 切线斜率 导数的概念 及其意义 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 基本初等函数 的导数公式 导数在研究函 数中的应用 函数的单调性 函数的极值与 最大(小)值 知识回顾 在某个区间(a,b)上,如果f ′(x)>0 ,那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f ′(x)<0 ,那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 问题1:函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负之间有何关系? (x1, f(x1)) (x0, f(x0)) x y O • • 探究新知 问题2:形如 为三次函数, 试求函数 的单调区间. 探究新知 例1 求函数 的单调区间. 解: 令 ,解得 ,或 . 对 求导数,得 函数 的定义域为 . 单调递增 单调递减 单调递增 和 把函数定义域划分成三个区间, 在各个区间的正负,以及 的单调性如表所示: 所以, 在 和 上单调递增,在 上单调递减,如图所示. 探究新知 追问1:除了用导数法外,还有哪些途径可以研究函数的单调性, 你能比较它们的优缺点吗? 对于 且 ,有 函数 的定义域为R. (导数法) …… 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 (定义法) 方法提炼 追问2:你能总结出利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤吗? 第3步,用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f ′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 第2步,求出导数f ′(x)的零点; 第1步,确定函数f (x)的定义域; 探究新知 练习:判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f(x)=3x-x3 (2)g(x)=x-2ln x (3)h(x)=ex-x(x>2) g(x)与h(x)在(2,+∞)都是单调递增,它们增长的方式是否一致? 导数的正负反映了函数的增减情况,是否可以用导数判断函数增减的快慢情况呢? 探究新知 图象越来越“平缓” 图象越来越“陡峭” 图象越来越“平缓” 方法总结 一般地,设函数y=f(x),在区间(a, b)上: 如果导数的绝对值越小,函数在区间(a, b)上变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”; 反之,如果导数的绝对值越大,函数在区间(a, b)上变化得较快,函数的图象就比较“陡峭”. 函数在某个范围内变化的快慢与导数的关系: 典型例题 f(x)与 g(x)图象之间有何关系? 探究新知 1.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤: 第3步,用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f ′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 第2步,求出导数f ′(x)的零点; 第1步,确定函数f (x)的定义域; 一般地,设函数y=f(x),在区间(a, b)上: 如果导数的绝对值越小,函数在区间(a, b)上变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”; 反之,如果导数的绝对值越大,函数在区间(a, b)上变化得较快,函数的图象就比较“陡峭”. 2.函数增减的快慢与导数的关系 作业布置 教科书P97习题5.3第2题、教科书P89 练习第3题 思考:讨论三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的单调性. Travelingin unsplash 谢谢您的聆听! Thank you! Travelingin nsplash 14 Lavf58.46.101 EVCapture4.2.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制,www.ieway.cn EVCapture4.2.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制,www.ieway.cn $$