相似三角形在实际问题中的应用的常见题型归纳-课件-2023-2024学年华东师大版数学九年级上册

相似三角形基本图形的应用问题 知识框架： 相似三角形 全等三角形 相似基本图形 两角分别相等 两边成比例且夹角相等 三边成比例 角相等 求角度 证位置关系 边成比例 特殊线段成比例 周长比 面积比 求长 求比 证等积式 求面积 如图，在△ABC 中，AB ＝15，AC＝12，点D 在AB边上，且AD=10，若在AC边上有一点E，使△ADE与△ABC相似，求AE的长. 例1：北师大版教材九年级上册第91页例2改编 ①当△ ADE∽ △ ABC时， 解得AE = 8 分类讨论 如图，在△ABC 中，AB ＝15，AC＝12，点D 在AB边上，且AD=10，若在AC边上有一点E，使△ADE与△ABC相似，求AE的长. 例1：北师大版教材九年级上册第91页例2改编 ②当△ ADE∽ △ ACB时， 解得AE=12.5 ∵AE＞AC ∴点E在AC的延长线上，舍. 综上，AE = 8 变式训练：如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝ 13，AC＝10，若点D 在BA延长线上，且AD=5，点E在直线AC上，连接DE，若△ADE为等腰三角形，则AE的长为______________. 例1：北师大版教材九年级上册第91页例2改编 E1 E2 ①若AE=AD AE=5 分类讨论 变式二：如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝ 13，AC＝10，若点D 在BA延长线上，且AD=5，点E在直线AC上，连接DE，若△ADE为等腰三角形，则AE的长为______________. 例1：北师大版教材九年级上册第91页例2改编 E3 ②若DE=DA △ADE∽△ABC 变式二：如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝ 13，AC＝10，若点D 在BA延长线上，且AD=5，点E在直线AC上，连接DE，若△ADE为等腰三角形，则AE的长为____________. 例1：北师大版教材九年级上册第91页例2改编 E4 ③若ED=EA △ADE∽△ACB AE=6.5 点拨： （1）当条件不明确时，需分类讨论； （2）列比例式注意顺序. 知识链接：公共角、对顶角型相似 图1 图2 图5 图6 图7 图3 图4 AB2=AD·AC 结论：① <m></m> △ADB∽△ABC ∽△BDC; < ② <m></m> ; ③ <m>BC2=CD·CA; ④ BB/m. (公共边的平方 = 共线边乘积) 平移 旋转 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°， BC=15，AC=9 ， （1）若 AD⊥BC，垂足为D，求BD的长； 例2：北师大版教材九年级上册第90页第3题改编 15 9 ？ BD=BC-CD △CAD∽△CBA ∠CAD=∠B 例2：北师大版教材九年级上册第90页第3题改编 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°， BC=15，AC=9 ， （2）若点E在CA延长线上，AE=3 ,在直线BC上取点F，使△CEF为直角三角形，则CF=________. △ABC∽△EFC CF:CB=EC:AC CF=20 分类讨论 ①若∠E=90° 例2：北师大版教材九年级上册第90页第3题改编 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°， BC=15，AC=9 ， （2）若点E在CA延长线上，AE=3 ,在直线BC上取点F，使△CEF为直角三角形，则CF=________. △BAC∽△EFC CF:CA=EC:BC CF=7.2 20或7.2 ②若∠EFC=90° 分类讨论 △BAC∽△EFC ∽△EAO △BFO∽ 上图中，还有其它的相似三角形吗？ O 例2：北师大版教材九年级上册第90页第3题改编 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°， BC=15，AC=9 ， （3）若连接AF和BE，有新的相似三角形产生吗？ O △EOB∽△AOF △FOB∽△AOE 对顶角 更比（交换内项） 例2：北师大版教材九年级上册第90页第3题改编 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°， BC=15，AC=9 ， （3）若连接AF和BE，有新的相似三角形产生吗？ O △EOB∽△AOF △CAF∽△CBE △FOB∽△AOE △CAB∽△CFE 对顶角 公共角 更比（交换内项） 更比（交换内项） 1．如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．将△ABC沿DE折叠，使BD，BE分别与AC相交于点F和点G，如图2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，则CG的长度为_________. 巩固内化A级 16 14 10 8 ? CG的长 FG的长 △AFD∽△BFG 9 巩固内化B级 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式；