5.2.2同角三角函数的基本关系课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 第五章 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 复习回顾 问题1：如何定义三角函数的呢？ 已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则角的三角函数值为？ 问题2： （2）根据定义以及点P所在象限可以判断函数值的符号规律， 比如点P在第二象限时，三个三角函数值的符号是什么？ 复习回顾 问题3：终边相同的角的同一三角函数值之间存在什么样的关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（诱导公式一） 其中 反映了“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特性，即“周而复始”的规律。 公式一的作用：可以任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值，即“大角化小角” 探究新知 提出问题 公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值 相等，那么，终边相同的角的不同三角函数值之间 是否也有某种关系呢？ 探究新知 探究：同一个角的不同三角函数值之间的关系 问题4：给定一个角，在单位圆中你能找到与点P坐标对应的线段吗？从而建立与 之间的关系吗？ 探究新知 追问：你能证明这个结论吗： 当为象限角时，过作轴的垂线，交轴与，因为是直角三角形，而且，由勾股定理有，，因此，，即 当为轴线角时，这个公式也成立。 探究新知 问题5：同一个角的三角函数值还有什么关系？ 由定义可知： 追问1：角为任意角时，公式都成立吗？ ， 追问2：我们用和单位圆相关的勾股定理说明了，你 能在单位圆中构造图形解释这个公式吗？ 探究新知 过点作的垂线交于点，因为， 有，因为， 所以，所以有。 知识梳理 （1） （2） 同角三角函数的基本关系 知识梳理 同角三角函数基本关系的理解与认识 1.两个公式的结构特点： （1） 是的简写，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的平方的正弦。 （2） 知识梳理 2.“同角”的理解： （1）只要能使得函数有意义，对任意一个角的关系式都成立。 （2）关系式中的角要相同，与角的形式无关。 知识梳理 3.公式等价变形 学以致用 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值（给值求值） 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1， 学以致用 ∴α是第二或第三象限的角. 如果α是第二象限角，那么 如果α是第三象限角，同理可得 学以致用 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 反思感悟 学以致用 题型二、化简求值与恒等式的证明 例2. 学以致用 例2. 学以致用 学以致用 反思感悟 同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简. 学以致用 题型三、sin θ±cos θ型求值问题 (1)tan θ； (2)sin θ－cos θ. 学以致用 (1)tan θ； 学以致用 方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0， (2)sin θ－cos θ. 学以致用 (1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”. (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号. 反思感悟 学以致用 题型四、化切求值的方法技巧 例4　已知tan α＝3，求下列各式的值： 学以致用 学以致用 (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值. (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养. 反思感悟 （1）已知，可以求或的值，将分子分母同时除以，化成关于的式子，从而达到求值的目的。 课堂小结 1.知识清单： (1)同角三角函数基本关系式； (2)三角恒等式的化简与证明； (3)sin α±cos α型求值问题； (4)齐次式的化切求值. 2.方法归纳：sin α±cos α型求值问题中的整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论. 所以cos2α＝， 又α∈，所以cos α<0， 所以cos α＝－. 例1　(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝ . － 解析　由已知得 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. sin α＝－＝－，tan α＝. (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 解　∵cos α＝－<0， (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得