专题2 求数列的前n项和讲义 2023-2024年高中数学人教A版2019选择性必修第二册讲义

求数列的前项和 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 求数列的前项和是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结. 【方法一】公式法 若已知数列是等差或等比数列，求其前项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 等差数列求和公式 等比数列求和公式 . 【典题1】 设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列． 求数列的等差数列． 令，求数列的前项和． 巩固练习 1 (★★) 已知是等差数列，公差，，且成等比数列，则数列的前项和　 　． 2 (★★) 求 3 (★★★) 已知两个等差数列，，其中，，，记前项和为，． 求数列与的通项公式； 记，设，求． 【方法二】 倒序相加(乘)法 1 对于某个数列，若满足，则求前项和可使用倒序相加法. 具体解法：设 ① 把①反序可得 ② 由①②得. 2 对于某个数列，若满足，则求前项积可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法. 【典题1】 设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值是　　． 巩固练习 1 (★★) 设，求的值为　 　. 【方法三】 分组求和法 【典题1】 在等差数列中，，． 求数列的通项公式； 已知数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前和． 巩固练习 1 (★★) 已知等差数列中，公差，，为方程的两根． 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和． 2 (★★) 已知在等差数列中，，． 设，求证：数列是等比数列；求数列的前项和． 【方法四】 错位相减法 【典题1】 设等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和． 【典题2】 已知数列的前n项和为，且满足． (1)证明数列是等比数列； (2)若数列满足，记数列{}的前项和为，证明：． 巩固练习 1 (★★) 已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2，求数列的前项和． 2 (★★) 已知等差数列中，，且成等比数列． 求数列的通项公式； 若数列满足，求数列的前项和． 3(★★★) 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项． 求数列的通项公式； 若数列满足：，求数列的通项公式； 令，求数列的前项和． 4(★★★★) 已知数列的前项和为． 求数列的通项公式；． 令，求数列的前项和； 若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围． 【方法五】 裂项相消法 常见裂项公式 ，； ，. 【典题1】 在正项等比数列中，，且，的等差中项为． 求数列的通项公式； 若，数列的前n项和为，求数列的前项和． 【典题2】 已知等差数列的前项和为，且，． (1)求；(2)设数列的前项和为，求证：． 巩固练习 1 (★★) 数列满足，其前项和为．若恒成立，则的最小值为　　． 2 (★★) 已知数列满足，． 证明：数列{}是等差数列，并求数列的通项公式； 设，求数列{bn}前项和． 3 (★★★) 已知数列的前项和为，且． 求的通项公式； 若，求{}的前项和． 4 (★★★) 在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列． 求数列的通项公式； 设，数列的前项和为，求证：． 5 (★★★) 已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 6 (★★★) 已知正项数列的前n项和为． 求数列的通项公式； 设是递增数列，，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 7 (★★★★) 设函数，设，． (1)求数列的通项公式． (2)若，，数列的前项和为，若对一切成立，求λ的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 求数列的前项和 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 求数列的前项和是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结. 【方法一】公式法 若已知数列是等差或等比数列，求其前项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 等差数列求和公式 等比数列求和公式 . 【典题1】 设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列． 求数列的等差数列． 令，求数列的前项和． 【解析】由已知得：，解得， 设数列的公比为，由，可得，， 又，可知，即，解得，， 由题意得，，， 故数列的通项为． 由于，， 由得， ， 又为常数，为等差数列， ， 故，其中． 巩固练习 1 (★