专题 1求数列的通项公式讲义 2023--2024年高中数学人教A版2019选择性必修第二册讲义

求数列的通项公式 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 求数列的通项公式是高考常考的一专题，形式多样，解题方法很多，常见的有累加法、累乘法、待定系数法、迭代法、取倒数法等，课外延申的还有不动点法等，不管什么方法，一定要理解解题方法的本质，清楚每种方法的适用范围，避免出现“看得懂，模仿做还行，独立思考就含糊”的情况. 【方法一】与的关系公式法 适用范围：若得知或与的关系式，求数列通项公式. 方法：利用与的关系，注意分类讨论，最后确定是否满足. 【典题1】 记为数列的前项和，已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 巩固练习 1 (★★) 已知数列的前项和为，若，．求数列的通项公式； 2 (★★) 记为数列的前项和，已知．证明：是等差数列； 3 (★★) 已知数列的前项和为，，．求数列的通项公式； 4 (★★★) 数列的前项和，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 5(★★★★) 已知数列中，，是数列的前项和，且满足，试确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列． 【方法二】累加法 适用范围：递推式为 . 方法：得到，利用累加的形式求出. 【典题1】已知数列满足，求数列的通项公式. 巩固练习 1 (★) 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足， 求数列的通项公式. 2(★★) 已知数列的前项和为，且， 求数列通项公式. 【方法三】累乘法 适用范围：递推式为 . 方法：得到，利用累乘的形式求出. 【典题1】 设数列是首项为的正项数列，且求通项公式 巩固练习 1 (★★) 已知数列满足 ，求数列的通项公式. 【方法四】构造法 情况1 递推公式为 (为常数，，) 【典题1】 已知数列满足，．求数列的通项公式. 情况2 递推公式为为常数) 【典题1】已知数列中，其中，且当时，，求通项公式. 巩固练习 1 (★★) 设数列满足：，．求的通项公式； 2 (★★) 已知数列满足，． 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 3(★★) 已知数列满足，求数列的通项公式. 4(★★) 已知数列满足，． (1)求，的值； (2)试说明数列是等比数列，并求出的通项公式； 5(★★★) 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，数列满足，且，求的通项公式 6(★★★★) 数列 的前项和满足 (1)证明: 数列为等比数列； (2)求的通项公式 【方法五】数学归纳法 适用范围：数列前几项的数值出现一定规律或数值结构具有特点. 方法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性. 【典题1】 已知数列中，，求数列的通项公式. 巩固练习 1 (★★) 已知数列的前项和． (1)计算，并猜的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 【方法六】 不动点法(特征根法) (选学内容) 【典题1】已知数列满足，求数列的通项． 巩固练习 1 (★★) 数列：，,求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 求数列的通项公式 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 求数列的通项公式是高考常考的一专题，形式多样，解题方法很多，常见的有累加法、累乘法、待定系数法、迭代法、取倒数法等，课外延申的还有不动点法等，不管什么方法，一定要理解解题方法的本质，清楚每种方法的适用范围，避免出现“看得懂，模仿做还行，独立思考就含糊”的情况. 【方法一】与的关系公式法 适用范围：若得知或与的关系式，求数列通项公式. 方法：利用与的关系，注意分类讨论，最后确定是否满足. 【典题1】 记为数列的前项和，已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】证明： (1)由已知①， ②， 由①-②，得， 即， ，且， 是以为公差的等差数列． 解： (2)由 (1)可得，， 成等比数列， 即，解得， ， ， 当且仅当，即时，的最小值为． 巩固练习 1 (★★) 已知数列的前项和为，若，．求数列的通项公式； 【答案】 【解析】 当时，由，得， 即，故数列 从第二项起为等比数列， ，即， 故当 时，， 故. 2 (★★) 记为数列的前项和，已知．证明：是等差数列； 【证明】 由已知①， ②， 由①-②，得， 即， ，且， 是以为公差的等差数列． 3 (★★) 已知数列的前项和为，，．求数列的通项公式； 【答案】 【解析】 因为，所以， 由累乘法得， 则， 又，所以， 当时，，时，，时也符合， 所以. 4 (★★★) 数列的前项和，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】 (1)略；(2) 【解析】 (1)． ， ，又， 数列是以首项为，公差为的等差数列；